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decomposition additive: je ne comprend pas

Posté par MEMED (invité) 21-03-06 à 14:24

Bonjour, il ya un exercice dont je ne  comprend pas la correction merci de m'aider à la comprendre.

Voici l'énoncé :

Déterminer toutes les décompositions additives du nombre 33, en utilisant seulement les nombres 3, 5 et 7,
sans nécessairement les utiliser tous (à titre d’exemple, on peut écrire 33 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 3).
On présentera clairement la méthode choisie pour déterminer ces décompositions.


La correction :

on obtient exactement 8 décompositions possibles, c’est-à-dire 8 triplets solutions
pour l’équation3a + 5b + 7c = 33.
33 = 5 + 7 + 7 + 7 + 7
33 = 3 + 3 + 3 + 3 + 7 + 7 + 7
33 = 3 + 3 + 3 + 5 + 5 + 7 + 7
33 = 3 + 3 + 5 + 5 + 5 + 5 + 7
33 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 5 + 7
33 = 3 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5
33 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 5 + 5 + 5
33 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3
merci par avance

Posté par
raymond Correcteur
decomposition additive : je ne comprends pas 21-03-06 à 15:07

Bonjour.
Il s'agit donc d'écrire 33 sous forme d'une somme de 3, 5, 7. Comme l'addition est commutative, les "3" peuvent être écrits en premier, ensuite les "5" et enfin les "7". On les compte : il y aura a fois 3, b fois 5 et c fois 7, a, b, c entiers positifs ou nuls inconnus. On doit donc résoudre : 3a + 5b + 7c = 33.
Cordialement RR.

Posté par MEMED (invité)re : decomposition additive: je ne comprend pas 21-03-06 à 15:46

j'ai bien compris cela néanmoins je n'arrive pas à trouver la manière de résoudre cette équation et dans la correction qu'elle est la méthode utilisée  pour trouver les 8 décompositions.
MERCI

Posté par philoux (invité)re : decomposition additive: je ne comprend pas 21-03-06 à 15:54

peut être qu'en exploitant

15=3*5=5*3

21=3*7=7*3

5+7=4*3

4*5+7=9*3

1*5+4*7=11*3

Philoux

Posté par Aketo (invité)Même probleme 15-04-07 à 17:29

Bonjour, j'ai le même exercice à résoudre et je ne comprends toujours pas comment les 8 décompositions ont été trouvé.

Moi j'y vais par tatonnement. Mais l'équations 3a+5b+7b = 33 peut-elle vraiement être résolue ?

Merci pour vos réponses !

Posté par
tooune
re : decomposition additive: je ne comprend pas 14-10-16 à 15:10

j'ai le même exercice sous les yeux et  je ne comprends toujours pas la méthode à employer ... y'a-t-il un matheux pour m'aider ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : decomposition additive: je ne comprend pas 14-10-16 à 15:21

Bonjour,

que ne comprends tu pas exactement ?

pourquoi le problème est équivalent à résoudre 3a + 5b + 7c = 33 ?
(c'est expliqué par raymond)

ou comment résoudre cette équation ?
à ce niveau (1ère) c'est par essais successifs

sachant que a ≤ 33/3 (la valeur la plus grande de a est si b et c sont nuls) et donc 0 ≤ a &le 11
b ≤ 33/5 et donc 0 ≤ b ≤ 6
c ≤ 33/7 et donc 0 ≤ c ≤ 4

comme c a la plus petite "amplitude" possible
on choisit c = 0, puis 1, puis 2, puis 3, puis 4
et on résout à chaque fois 3a + 5b = 33 - 7c (ce qui reste)
pareil, en essayant les diverses valeurs de b et en regardant si a est alors un nombre entier.

en Terminale spé maths on pourrait invoquer la résolution d'équations de Diophante, mais ici ce ne sera pas nécessaire vu la faible amplitude des valeurs à essayer.

Posté par
tooune
re : decomposition additive: je ne comprend pas 26-10-16 à 11:45

Merci Mathafou,

Effectivement je ne comprenais pas comment on postulait être arriver à l'exhaustivité des réponses avec c=4 .
Je comprends mieux maintenant avec ton explication.
Merci



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