Niveau énigmes

Décomposition en 2023-uplet

Posté par
Vassillia 04-01-23 à 19:05

Bonjour, je continue à vous embêter un peu avec 2023.

Est-ce qu'on peut constituer une liste de 2023 fractions (distinctes ou non) toutes de la forme 1 au numérateur avec un carré parfait au dénominateur de telle sorte que la somme de ces fractions vaut 1 ?

Plus généralement, pour quelle valeur de n pourra t'on constituer un tel n-uplet ? Vous me connaissez, je me contente de petites valeurs pour débuter et puis comme ça tout le monde peut participer.

Posté par re : Décomposition en 2023-uplet 04-01-23 à 19:33

Bonsoir

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Posté par re : Décomposition en 2023-uplet 04-01-23 à 22:44

Joli Zormuche, j'en ai une autre du coup on peut en déduire que ce n'est pas nécessairement de cette forme

Posté par re : Décomposition en 2023-uplet 05-01-23 à 01:29

Peut-être que ton autre est de la forme que j'ai décrite sans que ça saute aux yeux ...J'ai pris un gros nombre pour commencer, mais il y a des tas d'autres façons d'écrire cette somme. Cela dit, j'aimerais voir ta solution

Posté par re : Décomposition en 2023-uplet 05-01-23 à 10:02

Ah, mea inculpa, j'avais mal compris, c'est effectivement de la même forme mais une décomposition différente. Comme il te reste éventuellement à trouver les valeurs de n où c'est possible, je laisse encore un peu de suspens

Posté par re : Décomposition en 2023-uplet 05-01-23 à 14:21

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Posté par re : Décomposition en 2023-uplet 05-01-23 à 21:44

Tu as fais quasiment tout le travail, bravo ! Juste pour satisfaire ta curiosité

Si $k$ est un entier naturel strictement positif
Pour $n=3k+1$ on peut utiliser 3 copies de la liste $(2,4,8,...2^k)$ complétée par $2^k$
Pour $n=3k+3$ on peut utiliser 3 copies de la liste $(2,4,8,...2^k)$ complétée par $3\times 2^{k-1}$ ; $3\times 2^{k-1}$ et $3\times 2^{k}$
Pour $n=3k+5$ on peut utiliser 3 copies de la liste $(2,4,8,...2^k)$ complétée par $3\times 2^{k-1}$ ; $3\times 2^{k-1}$ et $3^2 \times 2^{k-1}$ ; $3^2 \times 2^{k-1}$ et $3^2 \times 2^{k}$

Ce qui va sauver la mise de 6,7, 11 et 14 par contre pour 2,3 et 5, on ne peut rien faire. Pourquoi ?

Si on classe la liste des n-uplets $a_k$ en ordre croissant alors $\dfrac{n}{a_1^2}\geq 1$ donc $a_1\leq \sqrt{n}$ c'est mal parti pour $n=2$ ou $3$ comme on ne peut pas prendre $a_1=1$

Pour $n=5$ , on doit choisir $a_1 \leq \sqrt{5}$ d'où obligatoirement $a_1=2$
$1/4+\dfrac{4}{a_2^2}\geq 1$ donc $a_2 \leq \sqrt{16/3}$ d'où obligatoirement $a_2=2$
$1/4+1/4+\dfrac{3}{a_3^2}\geq 1$ donc $a_3 \leq \sqrt{6}$ d'où obligatoirement $a_3=2$
$1/4+1/4+1/4+\dfrac{2}{a_4^2}\geq 1$ donc $a_4 \leq \sqrt{8}$ d'où obligatoirement $a_4=2$
Bon, ben c'est mal parti car $a_5$ va devoir vérifier $1/a_5^2=0$