Bonjour,

Il y a deux cas extrêmes à prendre en considération :

La plus petite somme : 5+1+1+1+1+1+1=11=7+1+1+1+1
La plus plus grande somme : 5+5+5+5+5+5+5=35=7+7+7+7+7

Puisqu'il y a une solution pour ces deux cas extrêmes, il y a forcément des solutions pour les tous cas intermédiares dont la somme est strictement comprise entre 11 et 35.

Merci et à bientôt, KiKo21.

5*7=7*5

Les six premiers nombres varient entre 1 et 5.
Si on classe les septuplets par somme croissante , ils varient entre (1,1,1,1,1,1,5) et (5,5,5,5,5,5,5).
(1,1,1,1,1,1,5) a pour somme 11, qui est aussi la somme du quintuplet suivant  (1,1,1,1,7).
(5,5,5,5,5,5,5) a pour somme 35, qui est aussi la somme du quintuplet suivant  (7,7,7,7,7).
Tous les autres septuplets répondant à l'énoncé, ont des sommes comprises entre ces deux valeurs extrêmes (11 et 35), et peuvent donc être écrits sous la forme (a₁,a₂,a₃,a₄,7) avec a_i compris entre 1 et 7.

Une somme de sept nombres dont le plus grand est cinq peut donc toujours s'écrire comme une somme de cinq nombres dont le plus grand est sept.

Bonjour Minkus,

Bonjour et merci pour l'énigme.

Soit A la somme des 7 chiffres (et pas nombre)
soit B la somme des 5 chiffres

A vaut donc entre 11 (6x1+7) et 35 (7x5)

Or dans ces deux extrèmes, il est possibles d'identifier B

En effet, B peut également valoir 11 (5+2x2+2x1) et B peut également valoir 35 (5x7).

il est ensuite facile de trouver un exemple de toutes les sommes intermédiaires de B entre 11 et 35



Comme B peut prendre toutes les valeurs entre 11 et 35, alors oui, il existe toujours un moyen d'écrire une somme de sept nombres dont le plus grand est cinq comme une somme de cinq nombres dont le plus grand est sept.

Une somme de 7 nombres dont le plus grand est 5 est donc comprise entre 5 et 35 et peut prendre toutes les valeurs intermédiaires (de 0+0+0+0+0+0+5 à
5+5+5+5+5+5+5 en incrémentant progressivement chaque terme)
De même une somme de 5 nombres dont le plus grand est 7 peut prendre toutes les valeurs entre 7 et 35.
Il est donc vrai que toute somme de 7 nombres dont le plus grand est 5 est égale à une somme de 5 nombres dont le plus grand est 7, la réciproque étant fausse....

Notons A une somme quelconque des 7 nombres dont le plus grand est 5 et B une somme quelconque de 5 nombres dont le plus grand est 7

A est au maximum égal à 35 (5+5+5...=5*7) et au minimum égal à 1+1+1+1...=7
On a donc 7A35


B est au minimum égal à 1+1+1+1+1=5 et au maximum égal à 7+7+7+7+7=35
On a donc 5B35

Finalement Min(B)AMax(B)

Donc toute somme A peut s'écrir sous la forme d'une somme B.

Bonjour,
Le total des 7 nombres est compris entre 12 (5+ 6 fois 1) et 35 (7 fois 5).  
Je peux écrire toute les valeurs de 12 à 35 sous la forme 7 + 4 nombres inférieurs ou égaux à 7.
12= 7+2+1+1+1
35=7+7+7+7+7
toutes les valeurs intermédiaires s'obtiennent  à partir de 12 en augmentant les 1 ou le 2 jusqu'à 7.

Bonjour voici ma réponse au défi 36 , Cinq à sept .

Soit sept nombres, inférieurs ou égaux a 5 .Nous pouvons donc les noter de la manière suivante : 1+a, 1+b,… 1+g , avec a, b, c, d, e, f, g des entiers naturels inférieurs ou égaux a 5.

D' où :
( 1 + a) + ( 1+ b) + ( 1+ c) + ( 1+ d ) +( 1+ e ) +( 1+ f ) +( 1+ g )
= 7 + a + b + c + d + e + f + g
= 7 + ( a + b -1) + 1 + ( c + d -1) + 1 + ( e + f -1) + 1 + g
= 7 + ( a + b -1) + ( c + d -1) + ( e + f -1) + ( g + 3 )

Or  a ≤ 4 et b ≤ 4 ,
d' où  a + b ≤ 8
et donc a + b - 1 ≤ 7
En raisonnant de la même manière pour c, d, e et f, on obtient : c + d - 1 ≤ 7 et e + f - 1 ≤ 7
Par ailleurs, g ≤ 4 et donc g  + 3 ≤ 7

On en déduit donc qu' une somme de sept nombres dont le plus grand est cinq peut toujours s'écrire comme une somme de cinq nombres dont le plus grand est sept.

Althéa

Je vais démontrer que tout nombre compris entre 11 et 35 peut s'écrire comme une somme de cinq nombres dont le plus grand est sept, ce qui revient au problème demandé.
* Si est entre 29 et 35 : , avec compris entre 1 et 7
* Si est entre 23 et 28 : , avec compris entre 1 et 7
* Si est entre 17 et 22 : , avec compris entre 1 et 7
* Si est entre 11 et 16 : , avec compris entre 1 et 7

Désolé Minkus,

j'ai mal lu le problème ( 5 nombres de max 5)

Pour justifier mon ,
voici la bonne monstration !

11=5+1+1+1+1+1+1=7+1+1+1+1
35=5+5+5+5+5+5+5=7+7+7+7+7
12= 7+ 1+ 1+ 1+ 2
13= 7+ 1+ 1+ 1+ 3
14= 7+ 1+ 1+ 1+ 4
15= 7+ 1+ 1+ 1+ 5
16= 7+ 1+ 1+ 1+ 6
17= 7+ 1+ 1+ 1+ 7
18= 7+ 1+ 1+ 2+ 7
19= 7+ 1+ 1+ 3+ 7
20= 7+ 1+ 1+ 4+ 7
21= 7+ 1+ 1+ 5+ 7
22= 7+ 1+ 1+ 6+ 7
23= 7+ 1+ 1+ 7+ 7
24= 7+ 1+ 2+ 7+ 7
25= 7+ 1+ 3+ 7+ 7
26= 7+ 1+ 4+ 7+ 7
27= 7+ 1+ 5+ 7+ 7
28= 7+ 1+ 6+ 7+ 7
29= 7+ 1+ 7+ 7+ 7
30= 7+ 2+ 7+ 7+ 7
31= 7+ 3+ 7+ 7+ 7
32= 7+ 4+ 7+ 7+ 7
33= 7+ 5+ 7+ 7+ 7
34= 7+ 6+ 7+ 7+ 7
35= 7+ 7+ 7+ 7+ 7
----------------------------------------
DECLARE SUB PrintArray (p AS INTEGER)
DIM SHARED n AS INTEGER: n = 5
DIM SHARED a(n) AS INTEGER
DIM report AS INTEGER

DIM i AS INTEGER, j AS INTEGER
a(5) = 7: FOR i = 1 TO 4: a(i) = 1: NEXT i
CLS
OPEN "c:\som.txt" FOR OUTPUT AS #1
PRINT #1, "11=5+1+1+1+1+1+1=7+1+1+1+1"
PRINT #1, "35=5+5+5+5+5+5+5=7+7+7+7+7"
FOR i = 1 TO 24
j = 1
report = 1
WHILE report = 1
  a(j) = a(j) + report
  IF a(j) < 8 THEN
   report = 0
  ELSE
   a(j) = 7
   j = j + 1
   IF j > 5 THEN
    PRINT "erreur de monstration"
    END
   END IF
  END IF
WEND
PrintArray (11 + i)
NEXT i
CLOSE #1
END

SUB PrintArray (p AS INTEGER)
SHARED a() AS INTEGER
SHARED n AS INTEGER
DIM txt AS STRING
DIM i AS INTEGER
  txt = STR$(p) + "="
  FOR i = n TO 1 STEP -1
   IF i <> n THEN
    txt = txt + "+"
   END IF
   txt = txt + STR$(a(i))
  NEXT i
  PRINT txt
PRINT #1, txt
END SUB

5 5 5 5 5 5 5 = 7 7 7 7 7

Les nombres sont des entiers strictement positifs:
1 + 1 + 1 + 1 + 7 = 11 ; 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 5 = 11
7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 35 ; 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 35
Le plus grand total étant de 35 dans les deux cas, et le plus petit étant 11 pour les deux, la somme de sept nombres dont le plus grand est 5 peut toujours s'écrire sous la forme d'une somme de cinq nombres dont le plus grand est 7.
En espèrant que la réponse vous conviennent.
Merci à minkus.
+ + + + différent de + + + + + +

Bonjour, je considère d'abord la plus petite somme de 7 nombres positifs non nuls :

1+1+1+1+1+1+1 c'est à dire 7
cette somme peut s'écrire comme une somme de 5 nombres inférieurs ou égaux à 7 car

1+1+1+1+1+1+1 = 2+2+1+1+1

Si j'ajoute 1 au 1er terme, j'obtiens 2+1+1+1+1+1+1 = 8 qui peut s'écrire 3+2+1+1+1 c'est à dire comme une somme de 5 nombres inférieurs ou égaux à 7,

Je continue à ajouter 1 à l'un des nombres du 1er terme jusqu'à obtenir la plus grande somme autorisée par l'énoncé, c'est à dire

5+5+5+5+5+5+5 = 35 qui peut s'écrire 7+7+7+7+7 puisque 7*5 = 5*7

Nous avons vu tous les cas possibles, nous pouvons donc affirmer qu' une somme de sept nombres dont le plus grand est cinq peut toujours s'écrire comme une somme de cinq nombres dont le plus grand est sept  

Merci pour l'énigme,

Bonsoir,

on part d'une somme de 7 chiffres entiers inférieurs ou égaux à 5 : , en supposant la suite croissante (quitte à l'ordonner).
Pour montrer l'existence d'une suite telle que , il suffit d'en construire une (il n'y a pas, en général, unicité).
Je pose donc , où est définie comme suit:

On sait par hypothèse que et sont des entiers compris (au sens large) entre 1 et 5.
On a donc , je propose donc de répartir cette somme s(=) de la façon suivante:
Je rajoute 2 au plus grand entier (5) de la première somme N pour obtenir le chiffre 7 exigé, i.e. .
Ensuite je distribue un par un les (s-2) restants (éventuellement 0) sur ,,, et au besoin je recommence...
Comme , j'ai au moins 2 points à répartir (pour passer de 5 à 7) et au plus 10 points à répartir (soit 8 sur l'ensemble {,,,} i.e. un maximum de deux points en plus pour chaque
Enfin, je note la suite des points ajoutés sur les ( où . On a .
On obtient alors une suite (ici croissante) qui convient.
En effet, j'ai bien une somme de 5 termes entiers dont le plus grand est 7.

et pour ,   avec et

.

Bon, je me suis lancé illico car l'idée est vite venue mais faut avouer qu'avec tout ce latex la formalisation n'a pas une jolie tête, m'enfin...

Bonjour,

Prenons, pour les 7 nombres non nuls dont le plus grand est 5, autant de pions. Plaçons les sur un tableau de « 5 cases horizontales x 7 cases verticales » (donc un tableau de 35 cases), de la façon suivante :
Le nombre de pions correspondant au premier des 7 nombres sur la première ligne, en partant de la gauche.
Le nombre de pions correspondant au 2ème des 7 nombres sur la 2ème ligne, en partant de la gauche.
Et ainsi de suite jusqu'au dernier des 7 nombres sur la dernière ligne, en partant de la gauche.

Maintenant ramassons les pions de la façon suivante :
Un premier tas en ramassant la première des 5 colonnes : il y a obligatoirement 7 pions.
Un 2ème tas en ramassant la 2ème colonne
Et ainsi de suite jusqu'au dernier et 5ème tas, correspondant à la 5ème colonne.

De cette façon il y a 5 tas, dont le plus important comprend obligatoirement 7 pions, et aucun tas n'est vide.

On a ainsi montré que la totalité des pions , qui s'écrit comme une somme de sept nombres dont le plus grand est cinq, peut se retranscrire sous la forme de 5 tas de pions dont le plus important en comprend 7.

En procédant de cette façon, l'exemple de Minkus devient :
1 + 2 + 3 + 4 + 4 + 5 + 5 = 7 + 6 + 5 + 4 + 2.

Merci pour cette énigme.

Cela se vérifie avec 5+5+5+5+5+5+5 = 7+7+7+7+7
On peut diminuer le membre de gauche d'un nombre quelconque de 1 à 24 : on opère la diminution 'un par un'en priorité sur le premier 5, pouvant l'abaisser jusqu'à 1, puis sur le deuxième, et on s'arrête quand on a terminé la diminution que l'on s'est proposée, qui ne peut excéder 24.
On peut opérer la même diminution sur le membre de droite : on l'applique 'un par un' en priorité sur le premier 7, pouvant l'abaisser jusqu'à 1, puis sur le deuxième, etc; ici encore, on peut faire une diminution jusqu'à 24 et on ne risque pas de tomber en panne avec la diminution imposée par le membre de gauche.

Bonsoir
Le minimum de la somme de  7 nombres (chiffres) > 0 dont le Max est 5 = 1+1+1+1+1+1+5 = 11
Le minimum de la somme de  5 nombres (chiffres) > 0 dont le Max est 7 = 1+1+1+1+7 = 11
Le Maximum de la somme de 7................................................................5 =  5+5+5+5+5+5+5 = 35
Le Maximum de la somme de 5................................................................7 = 7+7+7+7+7 = 35
Les membres de gauche et de droite ayant même minimum et même Maximum il est toujours aisé de compléter par des chiffres éventuellement égaux > 0 pour que les 2 membres soient égaux.
ex : 1+2+3+4+3+4+5 = [ 22 = (7 + 15 =) ] =  7 + 7 + 6 + 2
A+  

Rebonsoir
Dans mon exemple ce serait plustôt
ex : 1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 4 + 5 = [ 22=7+15 =] 7 + 7 + 6 + 1 + 1 ( il doit y en avoir 5 et non 4)
A+  

Bonjour,

Commençons par montrer que l'on peut écrire tout entier N compris entre 5 et 35 comme somme de 5 entiers compris entre 1 et 7:

Soit N, 5N35, écrivons la division euclidienne de N par 5 :



On a 0r7 (*). Distinguons deus cas :

(1) N=35. Alors, qui est bien un somme de 5 entiers 7.

(2) 5N35, dans ce cas, 1q7 (**). L'idée est alors d'écrire N comme somme des entiers (q+1) et q, qui sont bien tous les deux compris entre 1 et 7 d'après l'inégalité sur q (**). On écrira : (justifié par l'inégalité sur r (*).

(Un exemple pour mieux comprendre : s'écrit aussi : )

Voilà qui ét

Zut... J'ai envoyé mon dernier message par erreur trop vite !!!!!! Saleté de clavier ! J'espère que vous me permettrez de reprendre même si je sais qu'on a le droit normalement qu'à un seul message

Commençons par démontrer que tout entier N compris entre 5 et 35 peut s'écrire comme somme de 5 chiffres compris entre 1 et 7.

Soit donc 5N35, écrivons la division euclidienne de N par 5:



On a l'inégalité suivante sur r: 0r<5 (*). Distinguons deux cas :

(1) N=35. Dans ce cas le résultat est direct car
(2) 5N<35. Alors le quotient q vérifie l'inégalité suivante : 1q<7 (**). L'idée est d'écrire N comme somme des entiers q+1 et q qui sont bien compris entre 1 et 7 d'après l'inégalité (**). L'inégalité sur le reste de la division (*) nous autorise à écrire : où r et 5-r sont positifs, et qui est bien une somme de 5 entiers (les q et q+1) compris entre 1 et 7, égale à N.

(Un petit exemple pour bien comprendre : prenons , avec q=3 et r=2, s'écrira )

Le résultat suivant est donc établi : tout entier compris entre 5 et 35 s'écrit comme somme de 5 entiers compris entre 1 et 7.

Or, toute somme de 7 entiers compris entre 1 et 5, que nous notons égale à M, est telle que 7M35. M étant compris entre 5 et 35, le résultat précédent s'applique et nous permet d'écrire M comme somme de 5 entiers compris entre 1 et 7. CQFD

Ajoutons que la réciproque n'est pas vraie: par exemple la somme de 5 entiers 1 + 1 + 1 + 1 + 1 ne peut pas s'écrire comme somme de 7 entiers compris entre 1 et 5.

A++ et encore désolé pour le post précédent (à ignorer SVP...) qui doit être en plus illisible car je n'avais pas fait d'aperçu avant que le message parte...

Bonjour,

Avec 7 nombres dont le plus grand est 5, on peut former tous les totaux de 11 (6 fois 1 + 5) à 35 (7 fois 5).
Avec 5 nombres dont le plus grand est 7, on peut former tous les totaux de 11 (4 fois 1 + 7) à 35 (5 fois 7).

Donc, une somme de sept nombres dont le plus grand est cinq peut toujours s'écrire comme une somme de cinq nombres dont le plus grand est sept (et réciproquement).

A+,
gloubi

bonjour,voila un mois que je n'ai pas fait d'énigmes je dois être un peu rouillée,je ne sais pas si j'ai bien compris.
soit s la somme des 7 nombres d'aprés les données: 11s35.
on vérifie d'abord que s peut effectivement prendre toute valeur entière comprise entre 11 et 35.
s=35=7+7+7+7+7
29s34  s=7+7+7+7+s-28
23s28  s=7+7+7+1+s-22
17s22  s=7+7+1+1+s-16
11s16  s=7+1+1+1+s-10

Je décide d'ordonner les termes des sommes ci-dessous dans l'ordre croissant.

Une somme de 7 nombres dont le plus grand est 5 peut prendre toutes les valeurs entières comprises entre 1+1+1+1+1+1+5=11 et 5+5+5+5+5+5=35.
Réciproquement tout nombre entier compris entre 11 et 35 peut s'écrire sous la forme d'une telle somme.

Une somme de 5 nombres dont le plus grand est 7 peut prendre toutes les valeurs entières entre 1+1+1+1+7=11 et au maximum 7+7+7+7+7=35.
Réciproquement tout nombre entier compris entre 11 et 35 peut s'écrire sous la forme d'une telle somme.

Ces deux affirmations permettent de conclure positivement.
Michel

le maximum de la somme de sept nombres est: 7x5 = 35
le maximum de la somme de cinq nombres est: 5x7 = 35

le minimum de la somme de sept est 7x1 = 7
le minimum de la somme de cinq est: 5x1 = 5

le maximum des 2 "sommes" étant egal, et le minimum de la somme de sept étant superieur au minimum de la suite de cinq, on pourra toujours ecrire la somme de sept nombres dont le plus grand est 5 avec un somme de cinq nombres dont le plus grand est 7

autre style de resolution:
soit S les sollutions possibles pour la somme de 7 nombres
soit L les sollutions pour la somme de 5 nombres

7S35      Ds=[7;35]
5L35      Dl=[5;35]

donc SDl
alors on pourra toujours ecrire la somme de sept nombres dont le plus grand est 5 avec un somme de cinq nombres dont le plus grand est 7

le 2e facon me semble plus "perspicace" mais j'ai l'impression de mal m'exprimer... enfin j'espere que ce sera suffisant(et juste )

Avec 7 nombres entiers strictement positifs inferieurs ou egaux a 5 on a toutes les possibilités entre: (7 et 35 compris)
1+1+1+1+1+1+1=7  et  5+5+5+5+5+5+5=35


Avec 5 nombres entiers strictement positifs inferieurs ou egaux a 7 on a toutes les possibilités de nombres entiers entre: (5 et 35 compris)
1+1+1+1+1=5  et  7+7+7+7+7=35

L´intervalle [7;35] appartient a l´intervalle [5;35].
Ca signifie que la somme de 7 nombres entiers strictement positifs inferieurs ou egaux a 5 peut toujours etre exprimee par une somme de 5 nombres entiers strictement positifs inferieurs ou egaux a 7.

Faut il une demonstration plus complete?

Salut,

soient
On pose

d'où
où

Supposons le problème résolu :

tels que
Posons

Alors on a


le probleme revient donc à montrer que :

tel que
Et ceci est évident car on a :

car


On peut donc poser si


pour tous les autres

et on obtient le résltat voulu

Bonsoir,
Le résultat le plus grand que l'on puisse obtenir avec sept nombres dont le plus grand est 5, est 35. Pour que l'on puisse écrire ce résultat avec 5 nombres dont le plus grand est sept, il faut que le plus grand résultat de cette somme soit égale ou supérieure à 35: c'est le cas, car avec une somme de cinq "sept" on obtient 35.
Plus simplement, on pourrait se dire que 5*7 = 7*5 = 35

car 7 fois 5 = 5 fois 7

Bonjour
heureux de mon retour.
On a l'équation 1+1+1+1+1+1+1=1+1+1+1+3.(l'équation avec les plus petits nombres possibles).
si on ajoute par exp:1 dans les deux cotés de l'équation on a encore une autres équations sauf avec d'autres nombres(plus grands)alors:
1+2+1+1+1+1+1=1+2+1+1+3=1+1+1+1+4.
ainsi de suite avec les autres nombres qu'on ajoute des deux cotés jusqu'a vingt-huit:c'est là qu'on obtient l'équation:
5+5+5+5+5+5+5=7+7+7+7+7.
autrement dis 7*5=5*7.
donc toutes somme de sept nombres dont le plus grand est cinq peut toujours s'écrire comme une somme de cinq nombres dont le plus grand est sept.
Lotfi.

Bonjour,

En faisant la somme de cinq entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à 7, on peut écrire tous les entiers de 5 à 35 inclus (on commence avec 1 + 1 + 1 + 1 + 1 puis on incrémente successivement chaque nombre de 1).

En faisant la somme de sept entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à 5, on peut écrire tous les entiers de 7 à 35 inclus (on commence avec 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +1 +1 puis on incrémente successivement chaque nombre de 1).

L'ensemble des entiers de 7 à 35 étant inclus dans l'ensemble des entiers de 5 à 35, on peut donc toujours écrire une somme de sept nombres dont le plus grand est cinq comme une somme de cinq nombres dont le plus grand est sept.

Salut à tous,

une somme de sept nombres dont le plus grand est cinq donne au minimum 7 et au maximum 35.
Donc si j'arrive à retrouver tous les entiers de 7 à 35 en additionnant 5 nombres dont le plus grand est 7 je montre qu'une somme de sept nombres dont le plus grand est cinq peut toujours s'écrire comme une somme de cinq nombres dont le plus grand est sept.

7  = 1 + 1 + 1 + 2 + 2
8  = 1 + 1 + 2 + 2 + 2
9  = 1 + 2 + 2 + 2 + 2
10 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2
11 = 2 + 2 + 2 + 2 + 3
12 = 2 + 2 + 2 + 3 + 3
13 = 2 + 2 + 3 + 3 + 3
14 = 2 + 3 + 3 + 3 + 3
15 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3
16 = 3 + 3 + 3 + 3 + 4
17 = 3 + 3 + 3 + 4 + 4
18 = 3 + 3 + 4 + 4 + 4
19 = 3 + 4 + 4 + 4 + 4
20 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4
21 = 4 + 4 + 4 + 4 + 5
22 = 4 + 4 + 4 + 5 + 5
23 = 4 + 4 + 5 + 5 + 5
24 = 4 + 5 + 5 + 5 + 5
25 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5
26 = 5 + 5 + 5 + 5 + 6
27 = 5 + 5 + 5 + 6 + 6
28 = 5 + 5 + 6 + 6 + 6
29 = 5 + 6 + 6 + 6 + 6
30 = 6 + 6 + 6 + 6 + 6
31 = 6 + 6 + 6 + 6 + 7
32 = 6 + 6 + 6 + 7 + 7
33 = 6 + 6 + 7 + 7 + 7
34 = 6 + 7 + 7 + 7 + 7
35 = 7 + 7 + 7 + 7 + 7

Ca me parait un peu simple, ca sent le

@+

Bonjour,
Une somme de 7 nombres dont le plus grand est 5 peut valoir entre 7*1=7 et 7*5=35.
Une somme de 5 nombres dont le plus grand est 7 peut valoir entre 5*1=5 et 5*7=35.

Toute somme de 7 nombres dont le plus grand est 5 peut donc s'écrire comme une somme de 5 nombres dont le plus grand est 7 car tous les nombres compris entre 7 et 35 sont compris entre 5 et 35.

Fractal

Bonjour!
Ma réponse : 1/2+1/2+1+3+4+4+5=1+2+3+5+7
Voilà. A+ tout le monde^^

Bonjour

Une petite énigme en passant :

En reprenant l'exemple
1 + 2 + 3 + 4 + 4 + 5 + 5 = 1 + 3 + 6 + 7 + 7

Le plus grand chiffre des 7 termes de gauche est 5 (il en faut un au minimum d'après l'énoncé). Donc le minimum de cette somme est : 1+1+1+1+1+1+5 = 11 tandis que le maximum est : 5+5+5+5+5+5+5 = 35.
De même le plus grand chiffre des 5 termes de droite est 7 (il en faut un au minimum d'après l'énoncé). Donc le minimum de cette somme est : 1+1+1+1+7 = 11 tandis que le maximum est 7+7+7+7+7 = 35.

Les deux membres de gauche et de droite ont même minimum et maximum, de plus tous les nombres entre 11 et 35 (compris) peuvent être atteints (ce sont des entiers positifs) en ajoutant une unité.

On en conclue qu'une somme de sept nombres dont le plus grand est cinq peut toujours s'écrire comme une somme de cinq nombres dont le plus grand est sept.

Kévin

Bonjour

Dans le même style je vous propose cette JFF :

Montrer que tous nombres pairs positifs est la somme de deux nombres premiers.

exemple : 16 = 13+3

Bonne chance

Bonjour à tous.

Tout d'abord je tiens à dire que la démonstration que j'avais de cette énigme  était vraiment "toute bête" et consistait en une sorte d'alignements de points tel que l'a très bien expliqué savoie. C'est la démonstration qui est peut-être la moins mathématique de toutes celles proposées et elle n'a été proposée qu'une seule fois ! (Deux en fait si je compte Kaiser.)

Pour la correction de ce défi, j'ai été confronté à deux problèmes :

D'abord un certain nombre d'entre vous ont fait des erreurs sur les valeurs extrèmes soit parce qu'ils n'ont pas "vu" que les nombres étaient strictement positifs (Piepalm par exemple) soit parce qu'ils ont pour moi mal compris l'énoncé. Il ne me semble pas en effet que l'expression « dont le plus grand est 5 » puisse être comprise comme « inférieurs ou égaux à 5 » car si la première implique bien sûr que les nombres ne peuvent pas dépasser 5, elle implique aussi que l'un d'entre eux vaut forcément 5. Ainsi les sommes minimales n'étaient pas 5 et 7 mais 11 pour les deux.

Et la réciproque est donc vraie

Pour tous ceux qui sont concernés mais pour lesquels le raisonnment est bon (car en fait plus général), j'ai accepté les réponses.

Le deuxième problème rencontré est le fait qu'on peut toujours se demander ce qui constitue une démonstration suffisante. Les fameux « forcément » ou « c'est évident » ou encore « trivial » n'ont pas bonne réputation et je le répète souvent à mes élèves.

J'ai d'ailleurs souvenir d'une anecdote d'un mathématicien célèbre (Hardy ?) qui lors d'un cours dit d'une démonstration "C'est évident." avant de réfléchir, de sortir de la salle et de revenir un peu plus tard en disant : "Oui bien sûr c'est évident."  

A cet égard, les justifications de Kiko21, Nofotur2, En difficulté, michelD, oni, iddw, kimented, fractal, geo3 me semblent insuffisantes.

Le problème est en fait la réciproque évoquée par MichelD :

Salut Minkus, pour un corrigé, c'est un corrigé.

Salut Kiko21 : argh, encore un mais on peut mal commencer le mois et bien le finir

Salut Chaudrack : ça m'a l'air bien parti cette fois !

Salut Kévin : il était temps de t'y remettre, on était sur le point de former le groupe des "Reviens Infophile"

Salut Bornéo,

C'est vrai que j'aurais pu faire un tableau exel avec pour chaque nombre de 11 à 35 une décomposition possible ou bien expliquer qu'on pouvait toujours ajouter 1 à chacune des deux sommes ... J'avais un beau dessin avec des réservoirs...
C'est vrai que j'ai été un peu léger sur ce défi : "Oui bien sûr c'est évident".

Je suis vraimment en vacances ce mois !!

Je reprends des forces pour septembre, promis.

A+, KiKo21.

Merci Minkus de tes remarques, et merci Borneo pour tes encouragements.. (mais ça va être balaise, on verra l'ile surpeuplé j'ai un peu peur...)

Minkus, tu as raison, j'ai été étourdi et effectivement, j'ai marqué des choses à l'envers,même si j'avais bien compris l'énoncé... Etourderie qui aurait pu encore une fois me faire gagner un poisson..

Va vraiment falloir être plus vigilent!!

Merci

Ce n´est pas une reproche, mais entre:

C'est un peu ça oui. Comme j'ai essayé de l'expliquer dans la deuxième réponse il y a au moins "la mise en oeuvre d'une démarche" N'est ce pas Manpower ?

je veux dire la mise en oeuvre d'une démarche permettant d'expliquer qu'on pouvait bien obtenri tous les nombres