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DEFI 40 : L'ile surpeuplée.
Bonjour à tous.
En l'an 2050, Tom Pascal et Océane coulent des jours heureux de jeunes retraités (hé oui on travaillera jusqu'à plus de 70 ans à cette époque là) sur une ile futuriste qu'ils ont pu s'offrir grace aux bénéfices engendrés par le CSI. Comme on peut le voir sur la photo, il ont de quoi inviter leurs amis et autres habitués.
L'ile virtuelle, quant à elle, n'a cessé de voir le nombre de ses visiteurs augmenter au fil des années. Depuis quelques années d'ailleurs un sondage est organisé pour mieux connaitre les mathiliens. Ces derniers sont classés en quatre catégories : les professeurs, les ingénieurs, les élèves (tous niveaux) et les non professionnels (parents, touristes...etc). Enfin chaque personne est également classée selon son sexe.
Voici les résultats du sondage pour l'année 2050:
Parmi les personnes de sexe masculin :
Le nombre d'élèves masculins dépasse le nombre de non professionnels masculins de la moitié et un tiers du nombre de professeurs masculins.
Le nombre de professeurs masculins dépasse le nombre de non professionnels masculins de un quart et un cinquième du nombre d'ingénieurs masuclins.
Le nombre d'ingénieurs masculins dépasse le nombre de non professionnels masculins de un sixième et un septième du nombre d'élèves masculins.
Parmi les personnes de sexe féminin.
Le nombre d'élèves féminins est égal à un tiers et un quart du nombre total de professeurs.
Le nombre de professeurs féminins est égal à un quart et un cinquième du nombre total d'ingénieurs.
Le nombre d'ingénieurs féminins est égal à un cinquième et un sixième du nombre total de non professionnels.
Le nombre de non professionnels féminins est égal à un sixième et un septième du nombre total d'élèves.
Quel est le nombre minimal de mathiliens en 2050 ?
Bonne réflexion.
minkus
Bonjour à tous!
Je ne sais pas si vous allez tout comprendre, mais je tente le coup quand-même... L'énigme restant assez confuse pour moi mais bon.
"Il y a actuellement 20150 membres actifs sur l'île des mathématiques"
c'est ce que me dit le site (dans la répartition géographique des membres...) à l'heure où je poste.
De plus,
L'ile virtuelle, quant à elle, n'a cessé de voir le nombre de ses visiteurs augmenter au fil des années.
J'en déduit, puisque 44 ans nous séparent de 2050, qu'il y aura au moins 20194 membres dans 44 ans.
Après différents essais sur Excel (Et oui Borneo, moi aussi je suis fan), je trouve que le nombre minimum de membres est de 20198, répartis comme ceci:
et là on a bien:
Le nombre d'élèves féminins est égal à un tiers et un quart du nombre total de professeurs.
(1589 = 2724/3 + 2724/4)
Le nombre de professeurs féminins est égal à un quart et un cinquième du nombre total d'ingénieurs.
(2724 = 4520/4 + 4520/5)
Le nombre d'ingénieurs féminins est égal à un cinquième et un sixième du nombre total de non professionnels.
(1254 = 3420/5 + 3420/6)
Le nombre de non professionnels féminins est égal à un sixième et un septième du nombre total d'élèves.
(2951 = 9534/6 + 9534/7)
Le nombre d'élèves masculins dépasse le nombre de non professionnels masculins de la moitié
(7945 > 1.5 x 469)
et un tiers du nombre de professeurs masculins. (7945 > 690/3)
Le nombre de professeurs masculins dépasse le nombre de non professionnels masculins de un quart
(690 > 1.25 x 469)
et un cinquième du nombre d'ingénieurs masuclins. (690 > 3266/5)
Le nombre d'ingénieurs masculins dépasse le nombre de non professionnels masculins de un sixième
(3266 > 1.1666667 x 469)
et un septième du nombre d'élèves masculins. (3266 > 7945/7)
Si là j'ai juste
, je mérite 3 smiley au moins .... 
Merci,
Chaudrack
Les chiffres auxquels j'arrive sont un peu élevés, puisque j'obtiens un minimum de 50 389 082 mathiliens qui se décomposent de la façon suivante
masculins feminins total
éleves 10366482 7206360 17572842
professeurs 7460514 4893246 12353760
ingénieurs 7358060 3515820 10873880
non prof 4149387 5439213 9588600
total 29334443 21054639 50389082
Bonjour,
que de belles phrases sur cette belle île!
Sous reserve de bonne compréhension du texte (décidément!), je pense que le nombre minimal de mathiliens est de répartis comme suit:
élèves: 84 dont 63 masculins
professeurs: 36 dont 18 masculins
ingénieurs: 40 dont 29 masculins
autres: 30 dont 4 masculins
Merci pour l'énigme.
Si je comprends bien l'énoncé (une fraction et une fraction = fraction + fraction)
il y au moins 50 389 082 mathiliens (je ne vais pas être méchant, je ne vais pas répondre 0 
), ou tout du moins 50 389 082 personnes qui ont répondu au sondage. Ca fait quand même beaucoup pour une île !!
bon ben maintenant, si ça change tout le temps...
je viens d'aller voir, et il y'a marqué
"Il y a actuellement 20144 membres actifs sur l'île des mathématiques"
alors...
Pour info tout de même, le nombre de membres minimum pour lequel les conditions étaient vérifiées était 178 membres..
Allez, ça sent le pisson tout ça, vu le peu de réponse obtenue jusqu'ici
@ plus, Chaudrack
Bonjour,
Si on élimine 0, qui est aussi solution du système de 7 équations à 8 inconnues,
on trouve qu'en 2050, il y aura au minimum 50 389 082 mathiliens.
Enigme intéressante.
A+, et bon week-end,
gloubi
Comment comprendre une expression comme "... la moitié et un tiers de ..."?
Faut il considérer qu'il s'agit de moitié plus un tiers (1/2 + 1/3) ou une moitié plus un tiers de moitié (1/2(1 + 1/3))???
C'est la seconde interprétation que j'ai choisie.
Les calculs dans les deux cas sont relativement déments !!!
Pourquoi tant de haine, minkus !!! Ou alors je suis passé à côté de l'astuce qui permet de faire çà en 10 lignes.
Si j'écris dans l'ordre les non profesionnels masculins et féminins, les élèves masculins et féminins, les professeurs masculins et féminins et les ingénieurs masculins et féminins, je trouve les valeurs suivantes :
[1 518 636, 793 764, 2 947 056, 1 220 205, 2 142 630, 785 862, 2 079 980, 539 560]
Soit un total de : 12 027 693 mathiliens en 2050...
Je comprends mieux le titre de l'énigme.
Explications:
Soit l'indice 1 pour les variables masculines et 2 pour les féminines.
e les élèves,p les professeurs, n les non-professionnels, i les ingénieurs.
---------------------------------------------------------------------------
Remarque:
1/3+1/4 doit se lire :la somme d'un tiers et d'un quart.
(pour voir le "+" , il faut le mot "somme".)
Le nombre d'élèves masculins dépasse le nombre de non professionnels masculins de
la moitié et un tiers du nombre de professeurs masculins.
La moitié et un tiers : c'est donc la moitié et un tiers de la moitié au même titre qu'une expression fractionnaire du genre
5 3/4 (cinq unités et trois quarts d'unité)
La moitié et un tiers du nombre de professeurs masculins= 1/2.(1+1/3) p1=1/2.4/3 p1=2/3 p1
-----------------------------------------------------------
Mise en équation:
Le nombre d'élèves masculins dépasse le nombre de non professionnels masculins de la moitié et un tiers du nombre de professeurs masculins.
Le nombre de professeurs masculins dépasse le nombre de non professionnels masculins de un quart et un cinquième du nombre d'ingénieurs masuclins.
Le nombre d'ingénieurs masculins dépasse le nombre de non professionnels masculins de un sixième et un septième du nombre d'élèves masculins.
=>
=>
Le nombre d'élèves féminins est égal à un tiers et un quart du nombre total de professeurs.
Le nombre de professeurs féminins est égal à un quart et un cinquième du nombre total d'ingénieurs.
Le nombre d'ingénieurs féminins est égal à un cinquième et un sixième du nombre total de non professionnels.
Le nombre de non professionnels féminins est égal à un sixième et un septième du nombre total d'élèves.
=>
=>
=>
=>
minimun positif: 12 027 693 (k5=1)
Bonsoir,
D'après les informations données, le nombre minimal de mathiliens en 2050 est de 50389082.
Notons E le nombre d'élèves (avec Em les garçons, Ef les filles), P le nombre de professeurs (=Pm+Pf), I le nombre d'ingénieurs (=Im + If) et N le nombre de non-professionnels (= Nm + Nf), alors on trouve que les populations sont égales, en fonction de Nm, à :
Populations masculines:
Populations féminines:
Nm est donc un multiple de tous les dénominateurs des fractions (irréductibles) ci-dessus. le PPCM de ceux-ci valant 4149387, c'est la valeur minimale de Nm. On en déduit les autres populations et la population totale. Ouf !!!
Merci pour ce 40ème défi ! (Qui aurait pu être celui des 40 voleurs, mince 
)
Bonjour, cette énigme n'est pas vraiment difficile, mais il faut savoir calculer...
Donc je trouve un nombre minimal de mathîliens de 50 389 082
Joli succès pour l'
Merci pour l'énigme.
Il n'y a pas foule sur l'île, en cette soirée de finale...
Je ne vous poste pas mon raisonnement, il est trop long. J'ai les 3 premières informations en équation, et j'ai obtenu
a = 2226k
c = 1580k
e = 1602k
g = 891k
ensuite je mets les 4 infos suivantes pour trouver k
Je bidouille pour avoir deux de mes inconnues sous forme de système et je trouve b en fonction de k
b = 7206360k/4657
comme 4657 est premier, on a k mimimum = 4657 et b = 7206360
On en déduit les autres inconnues. Tableau joint. Je remarque que dans la catégorie "touriste" il y a plus de femmes que d'hommes...
Je me demande dans quelle catégorie je serai en 2050 
12027693 personnes, se répartissant comme suit ;
Hommes
2947056 élèves
2142630 professeurs
2079980 ingénieurs
1518636 autres
Femmes
1220205 élèves
785862 professeurs
539560 ingénieurs
793764 autres
Le seul diviseur commun aux huit nombres est 1.
NB j'ai compris les expressions comme 'un quart et un cinquième' comme un quart plus le cinquième de ce quart, soit six vingtièmes ou trois dixièmes.
Bonjour à tous.
Cette énigme était fortement inspirée d'un problème vieux comme Hérode ou presque. C'est en effet Archimède qui proposa à Eratosthène ce défi appelé maintenant « Problème des bœufs de Thrynacie ». Il s'agissait en effet de taureaux et de vaches dont la robe pouvait être noire, blanche, brune ou tachetée. Bizarrement,les mathématiciens de l'école d'Alexandrie ne réussirent pas à résoudre ce problème peut-être parce que la plus petite solution entière donne un résultat dans les millions.
La réponse "officielle" attendue était 50 389 082.
Bien sûr, certains pourront dire que ces résultats « astronomiques » étaient complètement irréalistes car il est impossible que plus de 50 millions d'internautes soient accros à l'île en 2050. A ceux là je répondrai de réfléchir aux avancées exponentielles d'Internet depuis sa création et aussi à la progression de l'île qui vient de fêter ses « 7 ans ». Cela dit il est possible que dans 40 ans Internet soit un peu passé de mode
D'autre part, il me semble que...
L'ile virtuelle, quant à elle, n'a cessé de voir le nombre de ses visiteurs augmenter au fil des années.
...interdisait la réponse triviale 0.
Maintenant, au vu des réponses, il apparaît que certains se sont demandé comment il fallait comprendre les expressions du type « un demi et un tiers » et ont pu se dire que c'était une façon inutile de compliquer l'énoncé alors qu'il aurait été plus simple d'indiquer directement la fraction souhaitée. Je tiens donc à donner ici mes arguments qui permettront d'expliquer pourquoi « un demi et un tiers » valait « cinq sixièmes » et aussi de justifier la sévérité apparente de la correction des réponses de certains qui ont sans doute effectuer un raisonnement correct.
En fait c'est le côté historique de l'énigme d'origine qui donne l'explication. Il faut savoir que les mathématiciens Egyptiens et Grecs de l'époque connaissaient bien sûr les fractions mais n'utilisaient que « certaines » fractions, à savoir celles qui avaient un numérateur égal à 1. (A l'exception de deux ou trois autres telles que 2/3 ou 3/4 si mes souvenirs sont bons.) Ainsi, il leur était « impossible » de concevoir des fractions du type « cinq sixièmes » et cela explique que les fractions utilisées dans l'énoncé avaient toutes un numérateur égal à 1. Les égyptiens disaient -et écrivaient- « un demi et un tiers » au lieu de « cinq sixièmes ». La beauté de l'énigme se retrouvait aussi dans le fait qu'étaient utilisées uniquement les « premières fractions » de « un demi » à « un septième » en les combinant successivement.
Ces mathématiciens auraient été aussi affolés de rencontrer des fractions supérieurs à 1 par exemple du type « sept tiers ». Comme le fait remarquer caylus ils écrivaient 7/3 sous la forme 2 1/3 qui se lisait « deux et un tiers ». Tous les nombres rationnels pouvaient donc être décomposés en la somme d'un nombre entier et de plusieurs fractions de numérateur 1. Ces sommes étaient bien sures littérales et ont été traduites de la même façon en latin avant l'arrivée du symbole d'addition. Le « et » avait alors une simple valeur d'addition.
J'avoue avoir du mal à comprendre l'interprétation de « un demi et un tiers » en « un demi et un tiers de un demi ». L'explication donnée par caylus ne me convainc pas car 5 3/4 signifie certes 5 unités et 3/4 d'unités mais il signifie aussi le nombre 5 et le nombre 3/4 qui correspond bien à l'addition des deux nombres. D'ailleurs cette même idée donne bien par exemple « 5 3/4 du nombre de profs vaut 5 fois le nombre de profs PLUS 3/4 du nombre de profs ».
Sauf erreur, il me semble bien que par propriété de distributivité « un demi et un tiers de 12 » vaut bien « un demi de 12 et un tiers de 12 », non ?? A moins de considérer qu'il s'agisse de 1/2 + 1/3
12 soit 1/2 + 4 mais cela n'aurait pas de sens car tous les nombres étaient entiers.
Pour ces raisons, je me suis refusé à « calculer » moi même les fractions et à remplacer « un demi et un tiers » par « cinq sixièmes » puis « un quart et un cinquième » par « neuf vingtièmes »…etc Ces fractions auraient semblées débarquer de nulle part alors qu'elles étaient en fait liées par une logique interne de succession. Je tenais à respecter l'originalité de l'énigme historique car il me semblait que bien comprendre ces « fractions égyptiennes » devait faire partie du jeu.
Voilà ! Cette correction reflète mon point de vue actuel sur la chose mais étant donné que vous êtes au moins 4 à avoir interprêté les « un demi et un tiers » différemment (Nofotur2, caylus, geo3, plumemeteore) je reste ouvert et ne suis pas contre l'ouverture d'un débat qui pourrait me convaincre d'accepter ces réponses. Mon esprit a encore du mal à visualiser ce « un demi et un tiers de un demi » aussi aimerais-je connaître l'avis d'autres personnes sur le sujet.
J'ai notamment une question : Votre interpretation aurait-elle été différente si j'avais écrit "plus" ou "augmenté du" à la place de "et" ?
En espérant avoir été assz clair.
minkus
Pour ma part, je ne vais pas essayer de te convaincre.
Je n'ai malheureusemnt jamais bénéficié de la clémence du jury.. "loi de Murphy oblige" pourrait on dire !!
Je vais simplement essayer d'expliquer ce à quoi j'ai pensé en lisant l'énoncé .
Le terme "et" ne m'a pas semblé mathématique et m'a vraiment perturbé. J'aurais préféré "+" pour qualifier une addition. Dans ce cas il n'y aurait pas eu d'ambiguité pour moi.
J'ai essayé de "creuser" l'interprétation de ce "et".
Je l'ai compris comme par exemple, "j'ai parcouru la distance D et un demi", ....sous entendu un demi de la distance.
Voila ...
Pour "peut-être" aider Minkus dans sa décision, j'ai également beaucoup hésité sur la signification de ce "et" ...
'Mais pourquoi n'a-t'il pas dit "plus" ? Cela doit vouloir dire quelque chose'. Mais après ce qui m'est arrivé le mois dernier, j'ai préféré la jouer "simple", plutôt que de chercher un éventuel "piège" .
Bonjour Minkus,
Pendant 25 ans, j'ai appris à mes élèves de dire "la somme de 5 et 3 est 8" et à ne pas dire "5 et 3 font 8" !
"Vérité en deçà du plateau de quévrain, erreur au delà."
Bonsoir,
Après réflexion et vérification, il s'avère que l'énoncé d'origine du livre dans lequel j'ai trouvé cette énigme ainsi que plusieurs versions trouvées sur internet utilisent le mot "PLUS" et non le mot "ET". Je ne me souviens pas pourquoi, au moment de la réécriture de l'énoncé, j'ai choisi de mettre "ET". Ce qui est sûr c'est que je n'imaginais pas les conséquences de ce petit changement inconscient tant la signification de cette "somme" de fractions était pour moi limpide. C'est vrai que c'est plus facile quand on a la solution
Or, comme cela est confirmé par nobody, il semble que le mot "PLUS" aurait levé toute ambiguité. L'erreur est donc mienne et par conséquent...
Je m'excuse pour ce geste parce que ce n'est pas pardonnable mais je ne le regrette pas. Je m'excuse auprès de tous les enfants qui ont pu en être témoins et aussi auprés des éducateurs qui essaient de leur apprendre que ce n'est pas une manière de faire.
:D
Bien que le débat n'ait pas été très long, je n'hésite pas à revenir sur ma correction et à redonner le sourire aux injustement poissonnés
Hey caylus demande à tes élèves s'ils savent faire les liaisons et si on doit dire "sept et trois font onze" ou "sept et trois font tonze"...
minkus nobody's perfect
Bonsoir,
190! Je me disais bien que mon nombre de mathilîens était faible... et pourtant tout dépend de l'interprétation et de la lecture du texte.
Voici la mienne (unique semble-t-il).
En notant
ey les élèves masculins, ay les non professionnels masculin et py les professeurs masculins, je traduis la première phrase du texte
Le nombre d'élèves masculins dépasse le nombre de non professionnels masculins de la moitié et un tiers du nombre de professeurs masculins.
par : ey > ay + (
Les autres conditions s'écrivent:
py > ay + (
iy > ay + (
puis
ex = (
px = (
ix = (
ax = (
système qui sous les contraintes précédentes admet bien (sauf erreur) ma solution proposée:
Sous réserve de bonne compréhension du texte (décidément!), je pense que le nombre minimal de mathiliens est de 190 répartis comme suit:
élèves: 84 dont 63 masculins
professeurs: 36 dont 18 masculins
ingénieurs: 40 dont 29 masculins
autres: 30 dont 4 masculins
Je trouve que, par principe, si l'on admet qu'il peut y avoir plusieurs interprétations, la mienne semble tout aussi exacte, non ?
Bonsoir...
j'ai vu mon erreur, j'ai compris:
Le nombre d'élèves masculins dépasse le nombre de non professionnels masculins de la moitié et un tiers du nombre de professeurs masculins
par
Le nombre d'élèves masculins est supérieur à la moitié du nombre de non professionnels masculins et est supérieur au tiers du nombre de professeurs masculins..
J'ai été le seul a considéré cette phrase comme ça..
Vraiment bizzare moi..
Allez zou, au dodo, ça me fera du bien, y'en a qui bosse encore!!
Salut Chaudrack
Après différents essais sur Excel (Et oui Borneo, moi aussi je suis fan)
Moi aussi, j'ai commencé par tâtonner, mais vu les nombres, ça aurait pu durer longtemps
Etonnant que cette énigme n'ait pas attiré plus de monde, car elle n'était pas difficile au niveau théorique. Simplement on avait de très grands nombres, ce qui alourdissait bien les calculs, et encore plus les vérifications. On la proposera aux collégiens qui cherchent des exos sur les systèmes d'équations
Bornéo tu ne peux pas la proposer aux collégiens car il s'agit d'un système de 7 équations à 8 inconnues.
Manpower
Sauf erreur, il me semble que si je dis "Pim est plus grand que Poum, il le dépasse de 10 cm." cela signifie que Pim mesure exactement 10 cm de plus que Poum non ? Sinon il faudrait dire "Pim est plus grand que Poum, il le dépasse d'au moins 10 cm.".
Peut-être encore une histoire de français finalement
Le nombre d'élèves masculins est supérieur à la moitié du nombre de non professionnels masculins et est supérieur au tiers du nombre de professeurs masculins..
Chaudrak, je pense que cette interprétation aurait pu être valable si j'avais écrit :
Le nombre d'élèves masculins dépasse le nombre de non professionnels masculins de la moitié et DU tiers du nombre de professeurs masculins.
Re-bonsoir,
j'avais bien compris minkus (c'est par exemple très clair en lisant la réponse de caylus) mais cherchant le nombre minimal, l'inégalité me semblait moins restrictive...
Bon, ton exemple est convainquant et je ne tiens pas à disserter sur le sens du mot dépasse.
Merci de ta réponse rapide.
bonjour,j'ai trés bien compris le texte,j'ai ecrit les équations et j'en suis restée là car je n'aime pas manipuler les grands nombres,il va falloir que je fasse un effort.merci pour cette énigme d'origine historique.veleda
Merci à minkus pour sa clémence et sa compréhension et à nobody pour son appui.;)
Quelle que soit la compréhension que l'on avait de l'énoncé, il y avait de ...gros gros calculs à se "farcir" !!!
Y avait'il une manière plus "astucieuse" de trouver la solution et d'alléger les calculs.
Je ne pense pas Nofotur2 car comme je l'ai dit c'est le fait qui pourrait expliquer que des mathématiciens aussi chevronnés qu'Eratosthène n'ait pas trouvé la réponse
Bonjour
Pour dire d'embrouiller
En 1ère lecture j'avais d'abord compris
Le nombre d'élèves masculins dépasse le nombre de non professionnels masculins de la moitié et un tiers du nombre de professeurs masculins.
=Le nombre d'élèves masculins dépasse le nombre de non professionnels masculins de la moitié et (sous-entendu dépasse d')un tiers du nombre de professeurs masculins.( à mon avis je suis le seul )
=> si Em = élèves masculins ,Npm = non professionnels masculins et Pm = professeurs masculins on aurait eu comme équations
Em = (1+1/2)Npm = (1+1/3)Pm et comme j'ai vu qu'avec les 7 équations ce n'était pas réalisable , j'ai pensé à 1/2 + 1/3 mais alors en "devinant" ( à tort semble-t-il) l'esprit ( je ne trouve pas l'adjectif ) de notre minkus j'ai opté pour 1/2.(1+1/3)
*
En conclusion il est vrai que le "et" est venu embrouiller les esprits mais si c'était à refaire j'opterais pour 1/2 + 1/3 car dans
vingt et un on a = 20 + 1
A+
Deux et deux quatre
quatre et quatre huit
huit et huit font seize...
Répétez! dit le maître
...
Fractal
Bonjour à tous
Y avait'il une manière plus "astucieuse" de trouver la solution et d'alléger les calculs.
L'ami excel ne résout pas les équations, mais il fait les calculs sans se tromper. J'ai fait les calculs sur une feuille excel, ce qui m'a bien facilité le travail par rapport à une calculatrice.
Pas bête : je ne savais pas qu'Excel (ou plutôt OpenOffice.org Calc dans mon cas : je ne suis pas assez riche pour acheter office) faisait des calculs sur les fractions ... J'aurais pu gagner pas mal de temps
@nf2 :
Merci [...] et à nobody pour son appui
De rien, je ne fais que te rendre service, en échange du tien (le mois dernier) ..
Si les "poids lourds" se soutiennent mutuellement, il va falloir que les petits actionnaires créent un syndicat de défense pour éviter les 
s
C'est vrai qu'à nous 2 (NF2 et moi), on a 5 smileys :p
Mais bon, je ne me considère comme un poids lourd ... Quoique .. je vois que piepalm n'a pas encore répondu à La machine à nombres, et si j'ai bon, ca me ferait passer en première place ... si j'ai bon ...
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