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DEFI 43 : Une suite de ouf !***

Posté par
minkus Posteur d'énigmes
10-07-06 à 14:07

Bonjour à tous.

Comme prévu je poste un peu "en paquets" surtout si je dois laisser les énigmes ouvertes un peu plus longtemps que d'habitude, disons une petite semaine.
Désolé pour les deux défis nocturnes mais j'étais un peu insomniaque hier soir après le match.


On écrit la liste des 2006 premiers nombres entiers strictement positifs : 1-2-3-4-……-2004-2005-2006. Ensuite on barre les deux premiers (1 et 2) et on écrit leur somme 3 au bout de la liste. On barre les deux suivants et on écrit leur somme 7 à la fin.

Après ces deux étapes on obtient donc la liste suivante : 5-6-7-8-……2005-2006-3-7.

On poursuit ce processus jusqu'à ce qu'il ne reste plus qu'un seul nombre.

Quelle est la somme de tous les nombres écrits depuis le début ? (Y compris les 2006 premiers.)

Posté par
caylus
re : DEFI 43 : Une suite de ouf !*** 10-07-06 à 15:05

gagnéBonjour Minkus,
4$\fbox{24072861}

Posté par
theprogrammeur
re : DEFI 43 : Une suite de ouf !*** 10-07-06 à 15:38

perduBonjour,
Voici ma proposition de réponse: la somme vaut     12\times \frac{2006\times (2006+1)}{2}=24156252.

Méthode utilisée:
  Cet algorithme revient à "réécrire" récursivement la somme S_{2006}= \sum_{i=1}^{2006} i = \frac{2006*2007}{2}. Ainsi répondre au problème revient à déterminer le nombre d'itérations nécessaire à l'algorithme. Après calcul on arrive à 12. D'où la somme de l'ensemble des nombres écrits est donc \frac{12*2006*2007}{2}.

Posté par
piepalm
re : DEFI 43 : Une suite de ouf !*** 10-07-06 à 15:51

perduLa somme doit être égale à 12 fois celle des 2006 premiers chiffres donc
12*2006*2007/2=24156252

Posté par
kiko21
re : DEFI 43 : Une suite de ouf !*** 10-07-06 à 17:08

gagnéBonjour,

2006 n'est pas une puissance de 2 ... sinon la somme était de n.(de 1 à 2006) = n.(1+2006).2006/2 = n.2013021
La puissance la plus proche supérieure à 2006 est 2048 = 212 où n=12
2048-2006=42 ce qui signifie que 42 valeurs seront comptées seulement (n-1) fois soit 11 fois. Ces valeurs sont les 42 plus grandes soit de 1965 à 2006.
(de 1965 à 2006)= (1965+2006).42/2=83391

On peut calculer  la somme = 12.2013021 - 83391

Je trouve une somme de 5$ \red \fbox{\textrm 24 072 861}

Merci et à bientôt, KiKo21.

Posté par
Nofutur2
re : DEFI 43 : Une suite de ouf !*** 10-07-06 à 17:30

gagnéLa somme de tous les nombres écrits depuis le début de l'opération (y compris les 2006 premiers), jusqu'à ce qu'il ne reste plus qu'un seul nombre est égale à 24 072 861.

Posté par massi (invité)re : DEFI 43 : Une suite de ouf !*** 10-07-06 à 18:25

perdusalut tous le monde.
moi je dirais que la somme de tous les chifres est:

22143231.
merci pour l'énigme.
massi.

Posté par Joelz (invité)re : DEFI 43 : Une suite de ouf !*** 10-07-06 à 20:51

perduBonjour

Ma réponse est \frac{2006\times 2005}{2}+2006 soit \fbox{2013021}

Joelz

Merci pour l'énigme en espérant que je ne me suis pas trompé

Posté par Torpedo (invité)re : DEFI 43 : Une suite de ouf !*** 10-07-06 à 21:28

gagnéBonsoir,

Je pense que la somme totale est 24072861 (c'est à dire S_{Tot} = 12 \times \frac{2006 \times 2007}{2} - (1965 + 1966 + ... + 2005 + 2006)  )

Sauf erreur de calcul ou mauvaise interprétation de l'énoncé. En fait, on remarque que l'on soustrait à un multiple de la somme des 2006 premiers entiers, les 42 derniers termes de cette somme. Or, 211 = 2048 = 2006 + 42. On retrouve 42. J'ai fait des essais avec des nombres plus petits que 2006 (17, 31, 28 et 54), je constate à chaque fois cette propriété. Si on généralise le problème pour N (le défi correspondant au cas particulier N=2006), alors selon moi la somme totale est égale à :

S_{Tot} = (n+1) \times S - S_{Fin}(2^{n}-N)

avec, n tel que le 2^n est la plus petite puissance de 2 supérieure ou égale à N, S la somme des N premiers entiers naturels (=\frac{N \times (N+1)}{2}) et enfin S_{Fin}(k) la somme des k derniers termes de la somme des N premiers entiers naturels (ouf !)

Donc par exemple si N=54, la puissance de 2 directement supérieure est 64 = 26. 64-54 = 10, on devra donc soustraire les 10 derniers termes de la somme S=1+2+...+54 à 7 fois S :

S_{Tot} = 7 \times \frac{54 \times 55}{2} - (45 + 46 + ... + 54) = 9900

et pour N=2006, on retrouve bien par cette formule 4$\fbox{S_{Tot} = 24072861}.

Je n'ai pas cherché à aller plus loin et à le démontrer rigoureusement, mais je pense que cela s'applique pour tout N.

A++ et merci pour ce défi !

Posté par
geo3
re : DEFI 43 : Une suite de ouf !*** 10-07-06 à 21:57

gagnéBonsoir
La somme de tous les nombres écrits depuis le début devrait être   3$\red24072861
A+

Posté par
manpower
re : DEFI 43 : Une suite de ouf !*** 10-07-06 à 22:03

gagnéBonsoir,

Au départ, on a \bigsum_{i=1}^{2006} i=\frac{2006\times 2007}{2}=2013021.

Il faut répéter 11 fois "l'opération" (la première puissance de 2 dépassant 2006, i.e. 11 avec 2^{11}=2048) avant d'obtenir le dernier nombre seul (égal à 2013021).
Sachant qu'on a la même somme à chaque opération (car on additionne finalement les mêmes nombres mais par paquets de 2,4,8...2^n), on pourrait être tenté de répondre 12\times2013021=24156252 et le raisonnement serait correct pour toute puissance de 2.
Mais, ici certains nombres se retrouvent seuls (4011,16004 et 63376 pour être précis i.e. les derniers obtenus après les étapes 2,4 et 6). Il faut donc les soustraire au total précédent.
Ce qui nous donne finalement un total de 3$ \red \rm 24072861.

Merci pour l'énigme.

Posté par
kimented
re : DEFI 43 : Une suite de ouf !*** 10-07-06 à 22:26

gagnéBonsoir,

Si j'ai bien compris le principe, avec 10 nombre ion aurait: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 7 11 15 19 10 26 29 55 , avec une somme égale à 230

J'ai créé un programme php pour résoudre ce problème à plus grand échelle:

Citation :
<?
$i=1;
while($i<=2006){    // boucle: creer une liste de 2006 nombres
   $liste1[$i]=$i;
   $somme+=$i;
   $i++;
}
asort($liste1);    // trier la liste (par précaution)

while(list($key, $val) = each ($liste1)){    // boucle tant qu'on a pas atteint le nombre final
    if($key%2==1 && $liste1[($key+1)]){     //condition : numéro du nombre non divisible par 2, et nombre suivant dans la liste
        $liste1[$i]=$liste1[$key]+$liste1[($key+1)];    //ajout de la somme des 2 nombres à la fin de la liste
        $somme+=$liste1[$i];    //ajout à somme totale
        echo $liste1[$i]." ";    // affichage de la somme des 2 nombres
        $i++;
    }
}
$nombre=$i-1;

echo"<br><br><b>Somme:$somme | $nombre nombres affichés</b> ";    //affichage du résultat
?>


La somme de tous les nombres écrits depuis le début est 24072861, avec 4011 nombres écrits.

Posté par
plumemeteore
re : DEFI 43 : Une suite de ouf !*** 10-07-06 à 23:38

gagné24072861
La solution est simple par tableur
On écrit dans A1 à 2006 les nombres 1 à 2006 par incrémentation.
On écrit dans B2007 à B4011 les nombres 2005 à 1 par décrémentation.
Formule en A2007 =INDIRECT("A"&LIGNE()-B2007)+INDIRECT("A"&LIGNE()-B2007-1) qu'on recopie dans A2008 à A4011.
Somme automatique en A4012.

Posté par nobody (invité)re : DEFI 43 : Une suite de ouf !*** 11-07-06 à 07:00

Le dernier nombre écrit est 2013021, et la somme cherchée est de
24 072 861.
En revanche, je veux bien savoir comment résoudre ce problème mathématiquement (je l'ai résolu à l'aide d'un ordinateur, et de cette manière, ca ne méritait pas 3:*: je pense ...)

Posté par
kiko21
re : DEFI 43 : Une suite de ouf !*** 11-07-06 à 12:09

gagnéBonjour,

2048=211 et non 212 bien sûr !!

La formule de la somme est (n+1).(de 1 à 2048) avec n+1=12... (et non n=12)

Pour 2006, on obtient (n+1).(de 1 à 2006) - (de 1+(2.2006-2048) à 2006) soit 12.(1+2006).2006/2 - (1965+2006).(2048-2006)/2 = 24 072 861

C'est bien ce que j'avais trouvé, mais dans l'explication, il y a eu une confusion entre n+1 et n.

Mes neurones sont vraimment en vacances !!

A+, KiKo21.

Posté par
gloubi
re : DEFI 43 : Une suite de ouf !*** 11-07-06 à 13:12

gagnéBonjour,

La somme de tous les nombres écrits est 24 072 861.

A+,
gloubi

Posté par
lotfi
re : DEFI 43 : Une suite de ouf !*** 11-07-06 à 14:10

perduBonjour
d'après ce que j'ai compris et d'après mes calculs j'ai trouver la somme: S=2021073084.

Lotfi

Posté par
borneo
re : DEFI 43 : Une suite de ouf !*** 11-07-06 à 14:55

gagnéBonjour, je trouve 24 072 861

Je ne peux pas donner ma démo car je ne suis pas chez moi. Mais je l'ai faite à la main, à l'ancienne.

Merci pour l'énigme et bonnes vacances.

Posté par
Judeau
re : DEFI 43 : Une suite de ouf !*** 11-07-06 à 15:08

gagnéBonjour,

La somme de tous les nombres écrits est 24 072 861.

Posté par
atomium
re : DEFI 43 : Une suite de ouf !*** 11-07-06 à 16:06

perduBonjour à tous,

Cette somme pourrait être: \red \fbox{4026042}.

Posté par Wismerhill (invité)re : DEFI 43 : Une suite de ouf !*** 11-07-06 à 19:38

perduSalut à tous,

en poursuivant le processus jusqu'à ce qu'il n'y ait plus qu'un seul nombre, il me reste :

2 013 021

En esperant que je ne me suis pas gourré dans mon programme

@+

Posté par
Marc75017
re : DEFI 43 : Une suite de ouf !*** 11-07-06 à 20:05

gagnéencore avec un de mes algorithmes bidons faits en 2 minutes chrono je propose 24072861 (je suis sur que dans dix minutes je vais donner une autre proposition lol)

Posté par cinziani (invité)123 11-07-06 à 22:22

perdu1871465

B à V

Posté par
chaudrack
re : DEFI 43 : Une suite de ouf !*** 12-07-06 à 11:16

gagnébonjour,

avec un peu de retard (gros boulot en ce moment..), je réponds:

La somme de tous les nombres écrits depuis le début est égale à 24 072 861

Merci pour cette énigme

@ plus, Chaudrack

Posté par savoie (invité)re : DEFI 43 : Une suite de ouf !*** 12-07-06 à 19:05

gagnéBonjour,

Voici ma proposition :

En regardant la façon dont se distribuent les nombres, on s'aperçoit qu'il va tous falloir les additionner n fois, sauf une partie (les premiers) qui seront à additionner n+1 fois.

Il faut donc trouver une formule qui additionne n fois tous les nombres ( = n * X * (X+1) / 2), formule à laquelle on rajoute 1 fois les Y premiers nombres ( = Y * (Y+1) / 2).

On constate aussi que lorsque le nombre le plus grand de la série initiale est une puissance de 2, puisqu'il s'agit de regrouper à chaque fois les nombres par paire, on aura donc n fois tous les nombres seulement.

Après quelques essais, j'obtiens la formule suivante :

Soit X le plus grand nombre de la série initiale, et Y le nombre que Minkus nous demande. On recherche d'abord la plus proche puissance de 2 inférieure à X, et on détermine les nombres n et A :
X = 2^n + A
Alors :
Y = (n + 1) * X * (X+1) / 2  + A * (2*A + 1)

Pour X = 2006
Alors n = 10 et A = 982.

J'obtiens la solution : Y = 24 072 861

Merci pour cette belle énigme.

Posté par djinn (invité)defi43 13-07-06 à 01:12

gagnési mes calculs sont bons (il est tard!)

je trouve : 24072861

Posté par missdu47 (invité)re : DEFI 43 : Une suite de ouf !*** 13-07-06 à 17:26

perdula rep a l'énigme est 524800 voila

Posté par Fabien (invité)re : DEFI 43 : Une suite de ouf !*** 13-07-06 à 23:54

Je trouve que c'est la somme des n premiers nombres de n allant de 1 à 2006, le tout multiplié par 1003.

Ca fait 2019060063.

Mais j'ai l'impression qu'il y a une erreur, je trouve qu'il y a un truc qui cloche,et je suis trop faigué pour essayé de trouver, mais le preincipal c'est de participer

Et Merci pour l'énigme !

Posté par
Fractal
re : DEFI 43 : Une suite de ouf !*** 15-07-06 à 16:04

gagnéBonjour, merci beaucoup pour l'énigme.
Je trouve une somme totale de 24 072 861.

En fait il fallait penser à compter à partir de la fin.

Fractal

Posté par
evariste
re : DEFI 43 : Une suite de ouf !*** 15-07-06 à 18:40

gagnéle total de tous les nombres est de 24 072 861

Posté par
Titane12
re : DEFI 43 : Une suite de ouf !*** 16-07-06 à 23:40

perdu24156252

Posté par
minkus Posteur d'énigmes
re : DEFI 43 : Une suite de ouf !*** 17-07-06 à 15:24

Bonjour à tous.

La réponse était bien 24 072 861 et plusieurs d'entre vous ont vu juste. Ce problème était sans doute assez simple à programmer (bravo kimented et sûrement d'autres) et apparemment, même un tableur suffisait et pourtant Bornéo l'a fait à l'ancienne . C'était en effet faisable à la main aussi. Je ne vais pas vous en donner une démonstration complète mais je vais recopier les éléments de réponse que j'avais postés dans le forum privé :

Citation :
[...] avec une puissance de 2 ça va assez vite.

Par exemple avec 24 il faut 4 étapes pour qu'il ne reste qu'un seul nombre et à chaque fois qu'on a "fini" un tour on a une liste de nombres dont la somme est la même : celle des nombres de 1 à 24.

Si on n'a pas une puissance de 2 il faut s'y ramener. Avec 2006 il faut éliminer 982 nombres pour tomber sur 1024=210. Pour cela il faut avoir barrer les 1964 premiers. Il reste donc dans la suite les 42 nombres de 1965 à 2006 suivi des 982 "sommes" rajoutées à la fin.

A chaque étape la somme est toujours \frac{2006*2007}{2}. On retrouvera cette somme 11 fois (10 étapes plus une) pour arriver à un seul nombre. Et il faut rajouter la somme des 1964 premiers barrés.

Ce n'est pas rapide mais ça marche


A noter que l'idée (kiko21, Torpédo, Manpower) de considérer la puissance de 2 suivante (2048) était sans doute plus rapide car plus proche de 2006.

>Fractal :

Citation :
En fait il fallait penser à compter à partir de la fin.


Peux-tu étayer un peu ton raisonnement ? Il semble intéressant...

A bientôt.

minkus

Posté par
Fractal
re : DEFI 43 : Une suite de ouf !*** 17-07-06 à 15:33

gagnéBonjour minkus, en fait mon raisonnement est à peu près le même que le tien.

Sachant qu'à chaque étape la somme des nombres écrits ne change pas, elle reste égale à 2006*2007/2 = 2013021.
Le dernier nombre vaut donc 2013021, et en remontant les étapes dans l'autre sens, on voit que les deux nombres qui le précèdent ont pour somme 2013021, les quatre nombres qui précèdent ceux-là également et ainsi de suite.
Ainsi, la somme des 2047 derniers nombres a pour somme 11*2013021. Il ne reste plus qu'à y rajouter la somme des 1964 premiers nombres.

Fractal

Posté par
minkus Posteur d'énigmes
re : DEFI 43 : Une suite de ouf !*** 17-07-06 à 15:34

okay merci

Posté par
borneo
re : DEFI 43 : Une suite de ouf !*** 17-07-06 à 15:46

gagnéSalut à tous.

Je n'ai pas pu programmer, car je suis en vacances, sans ordi moderne.

j'ai fait quelques essais avec des suites bien plus petites, avec l'intuition qu'avec des puissances de 2, on avait quelquechose d'assez simple. Puis j'ai vu ce qui se passait quand on s'éloignait d'une puissance de deux, j'ai testé sur quelques exemples, et zou !

Posté par
minkus Posteur d'énigmes
re : DEFI 43 : Une suite de ouf !*** 17-07-06 à 16:02


Ah bon ton ordi il ne marche pas au butane ?

Posté par nobody (invité)re : DEFI 43 : Une suite de ouf !*** 17-07-06 à 16:19

@borneo : Pour moi, un ordinateur c'est déjà moderne !!
Je ne vois pas pourquoi avec un ordinateur ancien, tu n'as rien pu programmer (A moins qu'il date de plus de 20 ans) : ca aurait juste mis 2 secondes à tourner au lieu d'une seule ...
@minkus : peut-être marche-t'il au Super .. Et le super n'est plus en vente depuis peu ...

Posté par
borneo
re : DEFI 43 : Une suite de ouf !*** 17-07-06 à 21:32

gagnéSalut tout le monde,
Mon ordi marche avec windows 95, mais j'ai excel 5 qui date d'avant windows. Donc, pas de Visual Basic, qui est la seule programmation que je pratique.

En fait, j'ai bien aimé trouver la réponse "à l'ancienne". Dès que j'ai internet à volonté, je vous mets ma solution.

Posté par nobody (invité)re : DEFI 43 : Une suite de ouf !*** 17-07-06 à 23:36

Je ne vais pas faire l'apologie de OpenOffice.org 2 (OOo pour les intimes), mais il est gratuit, marche sur Windows 95 (et ne rame pas), et fait (presque) tout ce qu'Excel sait faire : c'est le "firefox" d'Excel en quelque sorte ...
C'est pour cela qu'il est désormais utilisé dans de nombreux ministères et dans la gendarmerie ; et personne ne s'en plaint, au contraire, ca fait des licenses (via les impôts) de moins à payer !

Après, je ne connais pas bien VBA ; Visual Basic for Applications (et non pas Visual Basic), mais je crois qu'il y a OOo Basic qui ressemble fortement : si tu veux éviter la méthode à "l'ancienne", je pense que c'est LA solution ...

Challenge (énigme mathématique) terminé .
Nombre de participations : 0
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0 0

Temps de réponse moyen : 34:46:58.


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