Bonjour,

Les deux légions sont composées chacunes de (85x84)/2 = 3570 centurions,
soit un total de 7140 = (120x119)/2 centurions.

Merci pour cette énigme.

gloubi

Bonjour, et merci pour l'énigme..

Ma réponse est 7140.

En effet, les troupes de centurions des généraux Octopus et Sakapus comportent chacune 3570 soldats (comfiguration triangle possible) et à deux en comportent donnc 7140 (là encore, configuration triangle possible)

C'est la seule réponse possible sachant que ce nombre est supérieur à 1000 mais inférieur à 100 000.


@ plus, Chaudrack

    Bonjour.  Ce n'est pas une participation au challenge, simplement une question posée à MINKUS :
    Dans la Rome antique, les centurions étaient des officiers, qui commandaient une centaine d'hommes (une centurie). Avec plusieurs centuries, on formait des légions.
    Le 2ème classe lambda (si j'ose utiliser ce mot grec) était donc un légionnaire ... Alors, je pense qu'il s'agit bien ici de " légionnaires "qui forment les triangles en question ?...   J-L

Bonjour, si j'ai bien compris que les armées initiales de chacun des généraux comportaient le même nombre de soldats, je propose 3570 soldats chacun (84 soldats sur la derniere rangée) soit 7140 à deux (et 119 soldats sur la derniere rangée).

Les légions d'Octopus et de Sakapus comportent chacunes 3570 centurions.
Le total des deux armées réunies fait donc 7140 centurions.
Chaque légion est un triangle de 84 centurions de côté.
L'armée regroupée fait, elle, 119 centurions de côté.

Bonjour
Le nombre de centurions composant les légions des généraux Octopus et Sakapus =
car
2.84.(84+1)/2 = 119.(119+1)/2
A+

mathématiquement on trouve 3570 centurions

Voilà un de mes "supers" algos bidons en caml qui me donne un résultat...

let rec appartient x  = function  (* dit si un nombre appartient à une liste *)
|[] -> false
|(t::q) when t = x -> true
|(t::q) -> appartient x q;;

let sum m = m * (m+1) / 2;; (* somme des termes d'une suite géométrique* )

let correspond = fun nombre -> int_of_float (((-1.) +. sqrt (1. +. 8. *. nombre)) /. 2.) ;;
let cor nombre = correspond (float_of_int nombre);;
(* pour un effectif total donné, trouver le nombre d'éléments sur la rangée la plus grande : exemple pour nombre = 6, cor nombre = 3 *)


let  construit min max =
(* construit la liste des effectifs des différents régiments en triangle compris entre min et max  par ordre croissant *)
let l = [] in let rec cons l = function
|m when  m  > cor max -> l
|m -> cons (l @ [sum m]: (m+1) ;
in   (cons l (cor min));;

let condition min max = let l = construit min max  in let rec cond = fun
|[] -> failwith "error"
|(t::q) when appartient (t+t) q -> t
|(t::q) -> cond  q ;
in cond l  ;;

(*recherche de l'effectif commun aux deux troupes en question dans l'énoncé tel que la mise en commun des deux troupes donne encore une troupe en triangle *)

condition 1000 10000 ;;

RESULTAT TROUVE : 3570

Chaque armée est composée de 3570 centurions.
La nouvelle armée est donc composée de  7140 centurions

Bonjour, les légions des généraux Octopus et Sakapus comptent 3570 centurions.

Fractal

Soit N le nombre de centurions dans chaque légion.

Il existe un entier naturel a tel que a(a+1)/2 = N car N est un nombre triangulaire. Après résolution des inéquations 1000 < N < 100 000, on trouve 31 < a < 316, ce qui servira ensuite.
Comme la réunion des deux légions peut aussi former une formation "triangle", 2N est aussi un nombre triangulaire. Il existe donc un entier naturel b tel que b(b+1)/2 = a(a+1).
Ce qui est équivalent à a² + a - b(b+1)/2 = 0. On résout une équation du second degré en a, la seule racine positive est :
a = (-1 + (1+2b(b+1)))/2

On cherche dans N² les solutions de cette équation, ce qui revient à dire que l'on cherche les points aux coordonnées entières de la courbe d'équation y = (-1 + (1+2b(b+1)))/2.

Là je pense qu'il y a une méthode plus automatique mais je ne la connais pas. J'ai simplement fait un tableau de valeurs avec ma calculatrice et je trouve a = 84 et b = 119. Ce qui donne N = 3570, d'où 7140 centurions pour la légion réunissant les deux.

Note : les premiers entiers vérifiant cette propriété sont 2 et 3 ; peut-être cela explique-t-il la défaite des Romains à Gergovie.

Bonjour,
je trouve l'unique réponse suivante :

chaque légion comporte 3570 hommes disposés en 84 lignes comportant toutes un nombre différent d'hommes de 1 à 84, et la légion hybride comporte donc 7140 hommes disposés en 119 lignes comportant un nombre différent d'hommes de 1 à 119.

Chaque légion comporte 7140 centurions.
J'ai trouvé cette solution via un ordinateur, ce qui ne me plait pas trop : je poste demain une solution mathématique (si j'en trouve une)

Il y a en tout 7140 centurions (119e nombre triangulaire) et chaque armée en compte 3570 (84e nombre triangulaire).

Soit pour le nième nombre triangulaire, le candidat xième nombre triangulaire qui es est le double.
n*(n+1) = x(x+1)/2
x²+x = 2(n²+n)
x²+x-2n²-2n = 0
discriminant : racine de (1+8n²+8n) qui, d'après le tableur, est entier quand n = 84.

Notons n le nombre de rang de chaque légion.
Il vient alors que le nombre de soldats est n*(n+1)/2.
La condition "il reforme un triangle" revient a dire qu il existe un entier m tel que n*(n+1) = m*(m+1)/2.
On se retrouve alors avec l'équation du second degré, d'inconnue m  : m²+m-2(n²+n)=0 , dont le discrimant est 1+8n+8n².
Comme m est un entier, il est necessaire que ce discriminant soit un carré parfait, ce qui est le cas, uniquement* pour n=84 (obtenu à l'aide d'un programme informatique par exemple).
*:l'unicité est seulement dûe à la condition des valeurs limites fixées pour n.
On obtient donc 84 rangs pour 3570 soldats; puis quand ils se regroupent, on trouve 7140 soldats qui forment 119 rangs.

Merci pour cette énigme.

bonjour, il y a 3570 centurions dans chaque légion, et donc 7140 en tout.

Les légions d'Octopus et de Sakapus comportent chacune 3570 centurions.

Merci l'ami Excel !

Bonne nuit....

Si Tn désigne le n-ième nombre triangulaire (Tn=n(n+1)/2), il faut chercher p et q tels que Tp=2Tq.
Cette équation admet une seule solution pour 1000<Tq<100000, pour q=84 et p=119 puisque 84=7*12, 85=5*17 et 119=7*17 et 120=2*5*12 avec Tq=3570 et Tp=7140.
Notons qu'il existe des solutions plus petites T3=2T2; T20=2T14, et plus grandes: T696=2T492; T4059=2T2870 ...

La legion d'Octopus:3570 centurions
la legion de Sakapus:3570 centurions

Bonjour
le nombre de centurions de Octopus est 3570, Sakapus a le même nombre de centurions.
En unissant les deux groupes on recoit un triangle de 7140 centurions.
alors les premiers triangles ont 84 centurions pour chaque cotés du triangle, et puis on recoit un triangle de 119 centurions dans les cotés.

Choukrane!

la réponse est : 3570

ma réponse est : 3570

merci pour l'énigme!

Bonsoir Minkus

J'ai trouvé 2 solutions

18091 centurions dans chaque légion, ce qui fait 36182 en tout
21457 centurions dans chaque légion, ce qui fait 42914 en tout

Merci pour ce défi fait avec crayon, papier, calculatrice et patience.
Moomin

Bonjour,

Chaque général a une formation de 3570 centurions, ce qui fait une nouvelle armée de 7140 centurions (qui peut se mettre en triangle elle aussi).

Bonjour,

La reponse etait bien 3570 mais j'ai accepte 7140 lorsque le detail etait bon, comme c'est la cas de Chaudrak au contraire de Nobody.

J'avais trouve cette enigme sous la forme : "Trouver un nombre triangulaire dont le double est aussi triangulaire." Et il n'y a pas beaucoup de solutions, comme l'indique Piepalm dan sa reponse.

minkus

Bonjour,

La question posée "Donnez le nombre de centurions composant les légions des généraux Octopus et Sakapus" voulait dire pour moi "Donnez le nombre de centurions en tout"

Mais je sentais tout de même un problème et c'est pour cela que j'ai détaillé mon raisonnement.

Mais si tu voulais Minkus, obtenir le nombre de centurion de chaque légion, pourquoi n'as-tu pas posé la question ainsi:

"Donnez le nombre de centurions composant chaque légions"

Enfin, ce n'est pas grave, ça ne changerait rien à la notation..

@ plus, Chaudrack

Salut Chaudrack : belle remontée, après un début de mois emné  

Merci de tes encouragements Borneo, mais mon début de moi était bon, même que j'étais premier pendant 2 jours au moins...

et puis..C'est le drame, que de poissons dans mon épuisette.

Alors j'essaie de remonter en effet!

On verra le classement final et on fera mieux une autre fois.

@ plus, chaudrack

Salut Chaudrak,

Ca se discute mais en tout cas si j'avais mis "chaque legions" j'aurai enleve le S

minkus a écrit: "Et il n'y a pas beaucoup de solutions, comme l'indique Piepalm dans sa reponse."

Pas beaucoup en densité, mais une infinité quand même!
En effet l'équation n(n+1)=2p(p+1) peut se transformer en une équation de Pell en posant
N=2n+1, P=2p+1, soit N^2=2P^2-1 qui a une infinité de solutions qui se calculent à partir de la première (1, 1) par la formule de récurrence N'=3N+4P , P'=2N+3P
ce qui donne (1, 1),  (7, 5), (41, 29), (239, 169), ....

Jolie démo, piepalm! Mais comment démontres-tu la formule de réccurence?

Le plus simple est de le montrer par identification N'=aN+bP et P'=cN+dP avec N²-2P²+1=0.
N'²-2P'²+1=(aN+bP)²-2(cN+dP)²+1=(a²-2c²)N²+2(ab-2cd)NP+(b²-2d²)P²+1
Pour a²-2c²=1, ab-2cd=0 et b²-2d²=-2, N²-2P²+1=0 entraine N'²-2P'²+1=0, et ces conditions sont vérifiées pour a=d=3, b=4, c=2 (les conditions peuvent s'écrire
a²=2c²+1, a²b²=4c²d², b²=2(d²-1), ...)
Sinon, on le retrouve en calculant des approximations rationnelles de 2, par les fractions continues, (puisque N/P tend vers 2), ce qui revient à utiliser la suite un telle que u(n+1)=1+1/(un+1)=(un+2)/(un+1) qui converge vers2 en alternant autour de la limite: il ne faut prendre que les termes de même parité (les autres donnent les solutions de N²=2P²+1) et on retrouve bien que u(n+2)=(u(n+1)+2)/(u(n+1)+1)=(3un+4)/(2un+3)