Si nous retranchons 13 à chaque nombre, le problème devient:
démontrer que l'on peut , parmi 7 nombres entiers relatifs distincts, dont la somme est 3, en choisir 3 dont la somme est supérieure ou égale à 9.
Rangeons les nombres dans l'ordre décroissant. S'il y a au moins 4 nombres strictement positifs, le plus petit est supérieur ou égal à 1, et la somme des trois autres supérieure ou égale à 2+3+4=9
S'il y a au plus 3 nombres strictement positifs, les 4 autres sont négatifs ou nuls, et leur somme est inférieure à 0-1-2-3=-6. Comme la somme des 7 vaut 3, la somme des trois premiers est supérieure à 3-(-6)=9
cqfd

Raisonnons par l'absurde et supposons qu'aucune somme de 3 de ces entiers n'est supérieure ou égale à 48 : elles sont donc toutes inférieures ou égales à 47.
Donc, . (en permutant si besoin est les lettres pour que soit non nul, ce qui est possible car au plus l'un des chiffres est nul). Alors, et . Donc, ce qui est impossible.

Nous allons classer ces 7 nombres différents par ordre décroissant(de a₁ à a₇).
Les nombres étant différents , on a :
a₁a₁
a₂a₁-1
a₃a₂-1a₁-2
a₄a₃-1a₁-3.
a₅a₄-1a₁-4.
a₆a₅-1a₁-5.
a₇a₆-1a₁-6.

En faisant la somme membre à memebre , on obtient.
947*a₁-21
7*a₁115
a₁17 (comme a₁ est entier)
et donc a₂16 et a₃15, puisque les nombres sont différents.
On a donc a₁+a₂+a₃17+16+15=48.
La somme des trois plus grands nombres est donc toujours supérieure ou égale à 48.

Examinons le quatrième nombre, dans l'orde de grandeur.
S'il est plus petit que 14, la somme des quatre plus petits nombres est au plus 13+12+11+10 = 46 et la somme des trois plus grands est au moins 48.
S'il est égal ou plus grand que 14, la somme des trois plus grands nombres est au moins 15+16+17 = 48.
Dans les deux cas, on peut trouver trois nombres, les trois plus grands, dont la somme est au moins 48.

Bonjour,

Voici ma proposition.

Soient 7 nombres entiers naturels distincts A B C D E F G, triés dans l'ordre croissant (donc G est le plus grand) remplissant la condition suivante : quels que soient 3 nombres parmi ceux-ci, leur somme est strictement inférieure à 48.

Donc la somme des 3 plus grands, E+F+G < 48.

Cherchons une condition sur la valeur de E. Si E est supérieur ou égal à 15, alors F est supérieur ou égal à 16 et G est supérieur ou égal à 17. Donc E+F+G supérieur ou égal à 48, ce qui ne convient pas. Donc on a forcément, pour répondre à notre condition :
E égal au plus à 14
donc D égal au plus à 13
et C égal au plus à 12
et B égal au plus à 11
et A égal au plus à 10
soit A+B+C+D égal au plus à 46
Comme E+F+G égal au plus à 47, on peut conclure que la somme de ces 7 nombres est au plus égal à 93.

Récapitulons :
Quels que soient 7 nombres entiers naturels distincts remplissant la condition suivante : en prenant un triplet de 3 nombres parmi ceux-ci, leur somme est toujours strictement inférieure à 48,
Alors la somme de ces 7 nombres est au plus égal à 93.

Comme Minkus aime bien les énigmes de logique (et comme il trouve cette énigme "assez joli"), rappelons que : « si P entraîne Q » est équivalent à « non Q entraîne non P ». Ce qui, transposé dans cette démonstration :

Si la somme de 7 nombres entiers naturels distincts est supérieure ou égale à 94 (et donc pour répondre à l'énigme : si la somme de 7 nombres est égale à 94), alors il existe au moins un triplet de 3 nombres parmi ceux-ci tel que leur somme soit au moins égale à 48.

Merci pour cette énigme.

Bonjour,

On peut essayer de montrer la propriété par l'absurde.
On essaie de trouver sept nombres différents dont la somme est maximale mais tel que quel que soit le triplet de nombres choisis, leur somme est strictement inférieure à 48.

On trouve deux solutions :
18, 15, 14, 13, 12, 11, 10
17, 16, 14, 13, 12, 11, 10

Dans les deux cas la somme totale est égale à 93.

Donc si on a sept nombres dont la somme vaut 94, on trouvera au moins un triplet dont la somme est supérieure ou égale à 48.

Bonjour, je pars du principe que parmi les 7 entiers naturels aucun n'est nul.

On commence par les choisir afin d'avoir la plus grande différence entre le plus grand et le plus petit :

1+2+3+4+5+6+73 = 94

Comme le plus grand est > 48, on peut forcément en choisir 3 dont la somme est supérieure à 48

ensuite, on va chercher à rapprocher progressivement les nombres en diminuant le plus grand d'une unité :

1+2+3+4+5+7+72 = 94 on fait cette opération plusieurs fois pour rapprocher progressivement les 7 nombres.


1+2+3+4+6+7+71 = 94
1+2+3+5+6+7+70 = 94
1+2+4+5+6+7+69 = 94
1+3+4+5+6+7+68 = 94
2+3+4+5+6+7+67 = 94
2+3+4+5+6+8+66 = 94
2+3+4+5+7+8+65 = 94
2+3+4+6+7+8+64 = 94


et ainsi de suite en diminuant le plus grand d'une unité à chaque fois (en faisant attention que les 7 nombres restent différents) on va voir se rapprocher nos 7 nombres.

En continuant cette opération, on va finir par arriver à une situation extrême où il ne sera plus possible de diminuer le nombre le plus grand sans qu'il perde son statut de plus grand nombre.

On cherche la situation extrême où la somme des quatre plus petits nombres sera la plus grande possible, ce qui équivaut à dire que la somme des trois plus grands est minimale, afin de vérifier que cette dernière est toujours supérieure ou égale à 48, c'est à dire qu'il est toujours possible de choisir 3 nombres dont la somme est > ou = à 48.

La situation où il y a le moins d'écart entre la somme des 4 plus petits nombres et celle des 3 plus grands est celle où on a 7 nombres consécutifs.  

94 peut-il s'écrire comme somme de 7 nombres consécutifs ?

Si c'était le cas, on aurait :

n + (n+1) + (n+2) + (n+3) + (n+4) + (n+5) + (n + 6)  = 94

7n + 21 = 94

7n = 94 - 21 = 73

73 n'est pas un multiple de 7

On va choisir n le plus grand possible pour que la somme des 4 plus petits nombres soit maximale :

7n + 3 = 73

n=10

Les quatre plus petits nombres de la somme sont :

10 + 11 + 12 + 13 = 46

donc on aura la somme des trois plus grands nombres = 94-46 = 48

(le reste de 3 ne peut pas s'ajouter à l'un ou a plusieurs des 4 nombres les plus petits, sous peine de les rendre égaux à d'autres nombres de la somme, ce qui est interdit. Le reste se répercute donc forcément sur les plus grands nombres)

Comme on est dans la situation extrême ou les 7 nombres sont les plus proches possibles, dans toutes les autres situations, on peut choisir 3 nombres sur les 7 dont la somme est > ou = à 48.

Merci pour l'énigme. Ce qui est dur, ce n'est pas le raisonnement, mais l'explication.

Bonsoir,

joli ? probablement ! Mais en ce qui me concerne j'ai dû passer à côté de l'astuce...

Les 7 entiers étant distincts, je les ordonne : a<b<c<d<e<f<g. Il s'agit de prouver que e+f+g48.

Supposons donc que e+f+g<48 i.e. e+f+g47.
et cherchons à minimiser e+f+g sous la contrainte a+b+c+d+e+f+g=94.
^{(en fait à prouver que e15, ensuite c'est gagné)}
On a alors d+e+f44 (car d<e<f<g donc d+3g)
puis successivement:
c+d+e41
b+c+d38
a+b+c35
d+e+f+g=94-(a+b+c) donc est d+e+f+g et, a fortiori, e+f+g est minimale pour la plus grand valeur de a+b+c.
La situation extrême a+b+c=35 avec c minimal est 10+12+13; donc c13.
Enfin, les nombres étant ordonnés par ordre croissant, d>c donc d14
puis e15, f16 et enfin g17.
J'en déduis alors que e+f+g48 _(15+16+17) et la contradiction avec mon hypothèse de départ.
Ainsi e+f+g48 et je pourrais donc toujours choisir 3 entiers (au pire les 3 plus grands) dont la somme est supérieure ou égale à 48.

Merci pour l'énigme.

_{PS: Je concède que c'est moche et je me mordrais probablement les doigts à la correction...}

Bonjour,
Une énigme en forme de démonstration, bonne idée, c'est original !

Pour ce coup ci pas de tableau excel donc, quoique, je pourrais transmettre un immense tableau contenant tous les 7-uplets de nombres inférieurs à 94 avec pour chaque les trois nombres dont la somme est supérieure ou égale à 48 ; mais Minkus a dit que cela devait être joli, je m'abstiendrai.

Soit donc 7 entiers naturels différents dont la somme est 94. Notons a le plus grand, b le suivant, et ainsi de suite pour avoir :
a+b+c+d+e+f+g=94 et a>b>c>d>e>f>g

Raisonnons par l'absurde : "supposons qu'il n'existe pas de somme de 3 de ces nombres >= 48".

Dans ce cas toute somme de trois nombre est < 48 donc (il s'agit d'entiers naturels) <=47 ; en particulier a+b+c<=47 (1)
De plus :
b<a donc b<=a-1 (2) (entiers naturels)
et c<b donc c<=b-1 donc 2c<=2b-2 (3) (2 est positif !)
En sommant (1) (2) et (3) on obtient : a+b+c+b+2c<=47+a-1+2b-2
soit c<=44/3 soit c<=14.6666 soit c<=14 (8) (entier naturel)

De plus :
d<c donc d<=c-1 (4)
e<d donc e<=d-1 donc e<=c-2 (5)
de même f<=c-3 (6); g<=c-4 (7)
En sommant (1) (4) (5) (6) et (7) on obtient :
a+b+c+d+e+f+g<=47+c-1+c-2+c-3+c-4
soit a+b+c+d+e+f+g<=37+4c
en utilisant (8) on obtient a+b+c+d+e+f+g<=37+4*14
soit a+b+c+d+e+f+g<=93 ce qui contredit a+b+s+d+e+f+g=94

l'hypothèse "supposons qu'il n'existe pas de somme de 3 de ces nombres >= 48" donc par négation, il existe 3 de ces nombres dont la somme est supérieure ou égale à 48 CQFD

Bonjour,
Soit a,b,c,d,e,f,g les 7 nombres naturels de somme 94 rangés par ordre croissant (g est le plus grand, a est le plus petit).
Supposons que e+f+g < 48;
On a e < 15, car si e était égal à 15, e+f+g serait au moins égal à 15+16+17=48.
On a alors d qui est égal au maximum à 13, c au maximum à 12, b au maximum à 11 et a au maximum à 10.
La somme a+b+c+d est alors égale au maximum à 46.
Puisque la e+f+g<48, on a a+b+c+d+e+f+g < 94 ce qui est contradictoire avec l'énoncé.
L'hypothèse de départ est fausse, il existe donc au moins trois nombres dont la somme est supérieure ou égale à 48.

Il y avait sûrement plus simple, vu que l'énigme n'a qu'une étoile, mais je n'ai pas trouvé mieux.

Fractal

Bonsoir
a + b + c + d + e + f + g = 94
Par l'absurde
supposons qu'il n'est pas possible d'en choisir 3 dont la somme est 48
c-à-d que la somme de 3 quelconques d'entr'eux  est < 47
on peut toujours décider que l'un d'entr'eux est = à 0 par exemple g ( g = 0)
a + b + c < 47
d + e + f < 47
g         = 0
-------------- en faisant la somme =>
a + b + c + d + e + f + g <  47 + 47 + 0 =>
94 < 94  cequi est impossible =>
qu'il est toujours possible d'en choisir 3 dont la somme est 48
A+

Les 7 nombres sont différents.
Remarquons que 11+12+13+14+15+16+17 = 98 > 94.
et que 15+16+17 = 48.

98 = 94 + 4. il faut donc retirer 4 à ma somme initiale, or pour ce faire, si je ne veux pas augmenter la valeur de la somme des 3 plus grands, je ne peux qu'au maximum diminuer les 4 termes de 1 (ou évidemment le plus petit de 4, etc.)
Dans tous les cas, je ne peux pas toucher à la somme 15+16+17.

Ainsi, la somme de 3 nombres au moins est inférieure ou égale a 48 CQFD

Bonjour,
Soient 7 entiers naturels distincts tels que
a>b>c>d>e>f>g et a+b+c+d+e+f+g=94
Supposons qu'il n'existe aucun triplet dont la somme soit supérieure à 48
C'est à dire que a+b+c<48a+b+c47
ba-1
cb-1
...
da-3
eb-3
fc-3
Ce qui implique d+e+fa+b+c-936
Or a+b+c+d+e+f+g=94 donc g94-(36+47)=11
Si g11
alors f12
e13
d14
c15
b16
a17
Donc a+b+c17+16+15=48

C'est absurde donc il existe toujours trois de ces entiers  dont la somme est superieure ou egale a 48.

Bonjour,

Les 7 nombres, du plus grand au plus petit:
n1
n2 = n1-a
n3 = n1-a-b
n4 = n1-a-b-c
n5 = n1-a-b-c-d
n6 = n1-a-b-c-d-e
n7 = n1-a-b-c-d-e-f

Avec a, b, c, d, e et f >0
et 7*n1-(6a+5b+4c+3d+2e+f)=94

Donc 6a+5b+4c+3d+2e+f >= 21, d'où 7*n1 >= 94+21 = 105, donc n1 >=15

Testons n1=15 et a=b=c=d=e=f=1.
Alors n1+n2+n3+n4+n5+n6+n7 = 15+14+13+12+11+10+9 = 84.

Il manque 10 pour arriver à 94, que l'on peut soit ajouter parmi n1, n2, n3,
soit répartir plus largement.

Comme on cherche à minimiser n1+n2+n3, répartissons largement.

Testons cette fois n1=16 et, cette fois encore, a=b=c=d=e=f=1.
La somme des 7 nombres est 16+15+14+13+12+11+10 = 91 avec n1+n2+n3 = 45.

Il manque 3 pour obtenir 94, que l'on ne peut placer que parmi n1, n2, n3.
En effet si on augmente n4 de 1, on doit augmenter également n3, n2 et n1 (car n1>n2>n3>n4).

Conclusion: n1+n2+n3 >= 45+3 = 48.

CQFD.

Parmi 7 entiers naturels différents dont la somme est 94, les 3 plus grand ont pour somme minimale 48.

A+,
gloubi

_{Et merci pour cette énigme, qui valait au moins 2 étoiles.}
-

Classons les 7 nombres tel que a>b>c>d>e>f>g
Supposons qu'il n'existe pas de triplet de somme supérieure ou égale à 48.
On a alors  a+b+c<48
Donc d+e+f+g>46
Pour remplir cette condition  on doit avoir d>13 puisque si  d=13 la valeur maximum de d+e+f+g est 46 (13+12+11+10).
Si d>13, la valeur minimum de a+b+c est de 15+16+17=48, ce qui est contraire à notre hypothèse.
Il existe donc bien au moins un triplet de somme supérieure ou égale à 48.

Je trouve (avec ma calculette TI 89) qu'on peut prendre 17 + 16 + 15 et ke ça fait 48 !
Ca me parait un peu simple non ? j'ai pas du tout piger ...
Mais je suis qu'en quatrième alors bon !
Ces toujours Minkus qui pose les énigmes ou on peut en poser aussi (parqce que j'en connais des très durs)
à +
Sacul

Bonjour,


par l absurde, supposons que la somme des 3 plus grands nombres est strictement inferieur a 48. et notons ces nombres a<b<c<d<e<f<g
on a necessairement e<15 (sinon e+f+g >=15+16+17=48)
Donc e<=14.
il s'ensuit que d<=13, c<=12, b<=11 et a<=10.
donc a+b+c+d<=46
or e+f+g<48
donc 94 = a+b+c+d+e+f+g < 48+46=94
Contardiction !
donc la somme des 3 plus grands de ces nombres est superieure ou egale a 48.

Merci pour l'enigme

Bonjour!
La somme de 7 nombres entiers naturels differents est 94.
Nous devons montrer que la somme de trois des nombre est supérieure ou égale à 48.
La somme de trois nombres tq ceux-ci soient les plus grands des 7 et qu'ils soient les plus petits possibles doit donc être au moins égale à 48.
Les 7 nombres doivent donc se suivre de peu et tourner aux alentours de 13,4 (94/7).
Nous obtenons 10+11+12+13+15+16+17=94. Les nombres 15, 16 et 17 vérifient les conditions citées plus haut, 15+16+17=48 donc la somme de trois nombres parmis les 7 sera au moins égale à 48.

bonjour,

supposons par l'absurde que l'hypothese est fausse.
Alors il existe 7 entiers tel que leur somme soit égal à 94, et dont la somme de 3 d'entre eux quelconques ne dépassent pas 48.
Nommons ces 7 entiers : n1>n2>n3>n4>n5>n6>n7
Le cas le plus critique est bien sur la somme des trois entiers les plus grands

prenons l'hypothèse que n1+n2+n3=47 de telle facon que n3 soit le plus grand possible.
notons n2=n3+k2 et n1=n3+k1
On a alors 3n3+k1+k2=47 avec k1>k2>0, et la condition n3 le plus grand possible se traduit par 47-(k1+k2) doit etre divible par 3, et k1+k2 le plus petit possible.
On trouve logiquement k1+k2=5 (car k1+k2 ne peut pas etre égal à 2, voir les conditions sur ces nombres)

D'où n3=14.
On a alors (n1, n2)=(18,15) ou (17,16)

Il en résulte que la somme maximale des nombres n4, n5, n6 et n7 est 13+12+11+10=46 (car ils doivent être inférieur à n3)
La somme des 7 nombres ne peut donc pas ici dépasser 47+46=93.

On peut enfin remarquer pour finaliser cette démonstration (ma foi un peu bancale ) que si n1+n2+n3 est inférieur à 47, alors n3 sera fatalement inférieur ou égal à 14, ce qui impliquera une nouvelle fois que la somme des 7 nombres est strictement inférieur à 94.

Conclusion, il existe toujours 3 nombres tel que leur somme soit égal ou supérieur à 48.
On peut vérifier effectivement que ca marche avec n1+n2+n3=48
ca donne par exemple la solution (18,16,14,13,12,11,10)

Sylvain

On se place dans le cas ou les trois nombres pris doivent être minimal. On choisit bien évidement les trois plus grands nombres parmi nos 7 formant la somme. Il faut donc que l'on se place dans le cas ou le plus petit nombre parmi les 7 est le plus grand possible.
Si l'on choisi 11, alors les suivant seront au minimum 12,13,14,15,16,17 puisque aucun n'est égale à un autre. Mais on obtient un nombre suppérieur à 94. Impossible.
Notre plus petit nombre est donc égal à 10 (10+11+12+13+14+15+16<94)
Et l'on résonne de la même façon pour la suite des nombres. On trouve que notre somme de 7 nombre égale à 94 avec ses 4 premiers terme le plus grand possible commence par 10+11+12+13
10+11+12+13=46
Il nous reste donc une somme de 3 nombres (les trois plus grand nombre de notre liste) qui vaux    94-46=48
on peut toujours avoir 3 nombres dont la somme est superieure ou egale a 48.
Dans le cas général, en organisant les nombres de notre somme en ordre croissant, on aura les 4 premiers nombres <= à 10+11+12+13=46 et donc les trois derniers >= à 94-46=48
Ccl: l'on peut toujours en choisir 3 dont la somme est superieure ou egale a 48

Désolé pour tous ce baratin, il doit y avoir moyen de trouver une réponse plus rapide.

94/7=13.42
on choisi de prendre des entiers proches de 13  pour montrer que dans le cas critique on en trouve trois égale à 48 mais puisque l'on ne peut pas en pendre deux fois les memes on prend :
17+16+15+14+13+12+7=94 or 17+16+15=48
mais si l'on prend :
16+15+14+13+12+11+13=94 de sorte que l'on ne puisse faire 17+16+15=48 on utilise deux fois le nombre 13 ce qui est interdit
d'ou l'on trouvera toujours trois nombres dont la somme sera égale à 48.

Bonjour à tous,

Ca y est je vais enfin mettre fin au challenge de septembre. (Pas mal occupé le minkus en ce moment )

Voila la (jolie ?) démonstration que j'avais :

Il suffisait, après avoir ordonné les nombres de considérer celui du milieu (le 4e).

Si ce nombre est supérieur ou égal à 14, alors la somme des premier, deuxième et troisième nombres est supérieure ou égal à 48=15+16+17.

Si ce 4e nombre est strictement inférieur à 14 alors la somme des 4 plus petits ne peut dépasser 46=10+11+12+13 et donc celle des 3 autres vaut au moins 48=94-46.

Voila ce qui me semblait assez joli.

Certains ont d'ailleurs trouvé cette démonstration, d'autres des preuves assez rapides aussi, notamment par l'absurde.

En revanche certaines démonstrations me laissent perplexe. Celle de Borneo n'est pas des plus académiques et j'ai encore quelques doutes sur celle de Nofutur2, luc, bozz et Jacques1313.

>Nofutur2 : Je ne comprends pas le passage de a₁17 a a₂16 et a₃15 ?? Cela ne semble pas correspondre aux premières inégalités.

>luc et bozz : cela me semble incomplet.

>Jacques1313 : Comment montrer que les deux series obtenues sont bien les seules ?

Quant a Untitled, tu sembles avoir mal lu la question.

Voila pour la correction. Je suis prêt a revenir sur mes décisions s'il s'avérait que j'avais mal interprété certaines choses : )

minkus

humm, c'était une preuve par l'absurde que je voulais faire,... mais j'avoue, c'est pas très bien expliqué .

Merci pour cette énigme.

Ma démonstration est en tous points similaire à celle de savoie, par exemple.
Si le fait que j'aie moins développé que la somme des sept nombres est maximale justifie un poisson, je m'incline.

Okay. Jacques1313 je te promets d'y réfléchir à nouveau dès que j'ai un peu de temps

salut tt le monde
je n'ai ps vraiment compris la contradiction donnée par Nobody (<94) ds le raisonnement par l'absurde exposée ds sa participation !

La contradiction est 94<94 tout simplement !!

mais pourquoi 94+g<94???????

Effectivement, madani, j'ai fait une très grave erreur. Voilà ma démonstration "par l'absurde" modifiée.
On suppose que .
Alors, , donc (car ).
Donc, et . Il faudrait donc que . Ce qui est impossible.
Mon smiley n'est donc pas du tout mérité.

He bien ca m'avait echappe ! Merci Madani ! Pas facile a corriger ces trucs. Par mesure d'equite il semble donc juste que je retire le . Ca risque de changer le top 5 du coup, voire meme le top 10

salut tt le monde
J'apprécie la simplicité et l'honnetetè de nobody et je remercie minkus pour le grand travail qu'il fait uniquement pour le service des mathématiques et le pliasir des matheux et permettez moi de m'abuser de l'occasoin pour faire remarquer que la participation d'isourg dans le defi "la cotisation" est correcte car il a obtenu ses 15L avec les conditions qui lui permettent d'avoir de payer le minimum d'argent et s'il a fait une erreur de monnaie je crois que le receveur va surement le justifier !!!!!!!!