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J'ai trouvé :
- les fonctions
f(x)=a sur [0,a]
f(x)=x sur [a,b]
f(x)=b sur [b,1]
avec 0<=a<=b<=1
- les fonctions
f(x)=x sur [0,a]
f(x)=a sur [a,1-a]
f(x)=1-x sur [1-a,1]
avec 0<=a<= 1/2

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Tes fonctions conviennent mais ce ne sont pas les seules fonctions vérifiant les hypothèses.
Pour petit indice, tu peux rassembler les deux formes de solution que tu donnes dans une seule et même expression générale (qui sera la solution ) qui contiendra aussi d'autres fonctions.

Par exemple, la fonction f définie par :
f(x)=x sur [0,a]
f(x)=1-x² sur [(1-a),1]
vérifie elle aussi les hypothèses.

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Es tu sûr de ta fonction ?
Les intervalles ne couvrent pas [0,1]. pour a = 0,5, on a [0,0,5] et [rac(0,5),1].
De plus si je prends dans ce deuxième intervalle x= 0,8, j'obtiens f(x)=0,36 et f(f(x))=0,36, donc pas idem potente..

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Pardon pour les intervalles oui ; ma fonction est en réalité, dans le cas de a = 1/2 par exemple :

f(x)=x sur [0,1/2]
f(x)= 2/3 (1 - x²) sur [1/2,1]


Et pour ce que tu dis avec 0,8 comme exemple, on trouve justement f(f(0,8))=f(0,8) donc "dans ce cas précis" f est bien idempotente ( fof(x)=f(x) ), je me trompe ?

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Je pense que oui..
f(f((0,8))= f(2/3*0,36)=f(0,24)=0,24...!!!

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Désolé, mais je ne vois toujours pas l'erreur :

f(0,8) = 2/3*0,36 = 0,24
f(f(0,8)) = f(0,24) = 0,24
Donc f(f(0,8)) = f(0,8)

Ca nous donne effectivement aussi f(0,24)=f(0,8) mais ce n'est pas un problème ça, puisqu'on a bien f(f(0,24))=f(0,24).

Donc c'est bon justement non ?

Tu ne confondrais pas application idempotente et involution ?

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Oui excuse moi.Tu as raison.

Les solutions ;
les fonctions telles que :
- sur [0,a].. a<= f(x)<=b
- sur [a,b] f(x)=x
- sur [b,1] a<= f(x)<=b
avec 0<=a<=b<=1

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Tout à fait !
Bon je ne vais pas te demander la preuve, hein ?!
Avec tout ça, je me doute bien que c'est bon

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et


P([0,1]) désignant l'ensemble des parties de [0,1].

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Maintenant il faut en plus que, à cause de la continuité, qu'il existe un ensemble (fini ou infini?) d'intervalles et/ou de singletons tel que l'union forme le Q précédemment défini et tel que sur tout intervalle de [0,1]\Q f soit continue en tout point de cet intervalle mais aussi aux extrimités de cet intervalle.

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Comme on sait que l'image d'un segment par une fonction continue est un segment, cela impose que Q soit un intervalle.

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Pas facile à suivre tout ça

Effectivement, c'est la bonne condition nécessaire et suffisante, sauf sur un point précis : Q doit non seulement être un intervalle, mais aussi un segment puisque c'est l'image d'un segment par f, comme tu le dis.