bonjour Mariette et blang

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on sait que la somme des chiffres est un multiple de 9
Si n est impair , modulo 10 9^n est congru à (-1)^n donc a 9 donc le chiffre des unites est 9 c'est fini
si n est pair 9^n congru à 9^(n-1)*9 congru à 9*9 chiffre des unites de 9^n c'est 1 et la somme des chiffres etant un multiple de 9 c'est au poins 9  tu y etais presque Mariette!

@sloreviv

As-tu vu le mot "strictement" ?

Ah dis donc blang : sympa l'avatar

@Mariette:

J'ai croisé le tien sur le cercle trigo l'autre fois

non j'avais pas vu...j'ai lu trop vite!!c'est souvent!!!

Bon, on reprends alors :

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n impair, c'est bon ?

n pair : le chiffre des unité est 1, et la somme des chiffres est un multiple de 9, jusque là, tout va bien, mais après...

certes certes...

une idée :

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Notons les chiffres de
On a
Donc
la somme des chiffres est donc Bon OK, j'ai oublié que les a0-a_1 et compagnie ne sont pas forcément des chiffres... Je recommence.

Pour n impair, parfait

Inutile de préciser que le cas n pair est le plus compliqué

Une démonstration pas très propre :

on peut le faire à la main, pour les 10 premières puissances de 9 : on a que les 5 puissances paires à étudier (le cas impair est déjà étudié) ce qui revient à étudier les 5 première puissances de 81.

une fois qu'on a réglé le compte des 4 premières, on s'aperçoit que la 5ème est un nombre à 10 chiffres, donc la somme est strictement supérieur à 10.

ok c'est pas super, mais bon en DS jpense que ça passe une disjonction des cas en arythmétique

Sauf qu'il faut montrer qu'il n'y a pas trop de 0 dans les chiffres

ça c'est vachement vrai tiens ! ça vaut rien ce que j'ai fait :'(

j'ai honte :p

faut pas avoir honte, j'avais eu la même idée

se planter de temps en temps ca prouve qu'on a encore à apprendre eh eh!!! je te dirais pas mon age..; mais je me suis plante dans ce topic moi aussi

eh bien ça m'a pris la soirée pour finalement.. pas trouver !

quelques idées que j'ai eues... :

montrer que la somme des chiffres dans le cas n pair est spuréieure à 9 (donc en fait à 18 puisqu'on sait qu'elle est multiple de neuf) revient à montrer que la somme des chiffres de 9^n - 1 ou encore de (9^n-1)/10 est supérieure strictement à 8 (donc supérieure ou égales à 17) car on sait que le chiffre de l'unité c'est forcément 1.

Ensuite j'ai l'impression qu'il "suffit" (sans commentaire ^^) d'étuder les congruences modulo 10 000 de ce chiffre. Avec un logiciel de calcul formel (maple, mathematica) on doit pouvoir montrer qu'il y a une périodicité ... de période beaucoup ! et ensuite on peut étudier la somme des chiffres de cette horreur sur une période (bon ok c'est pas une très bonne idée...)

Ensuite je me souviens que sur certains exos d'arithmétiques, on commence par étudier le nombre de chiffres qu'à le nombre qu'on étudie (ici je crois que c'est n + 1 chiffres, peut être parfois seulement n chiffres...) pour ensuite limiter un domaine de congruences à étudier (modulo...)

Bref je suis bien pressé d'avoir soit des indications, soit carrément la réponse
bonne nuit

Bonjour AenarionJD,

La suite des est effectivement, sauf erreur, 125-périodique.
Il y a cependant "quelques" cas à régler. Citons par exemple:
,
,
...

Mais peut-être peut-on conclure ainsi, je ne sais pas.

Enfin, Sylvestre Kerchou (que je viens d'avoir au téléphone), m'interdit de donner pour l'instant la moindre indication quant à sa solution

blang

A bien y réfléchir, d'ailleurs, le problème ne pas être résolu uniquement en raisonnant modulo 10^m pour un certain m. On peut voir en effet que quelque soit l'entier m, on peut choisir n tel que 81ⁿ s'écrive ???0000...01 (au moins m zéros à gauche du 1). Il suffit de prendre pour n, l'ordre de 81 dans le groupe des unités de l'anneau Z/1OⁿZ.

Je voulais (et veux toujours ) écrire Z/10^mZ...

bref j'attends la solution de pied ferme !!j'ai passe plein de temps sur excel...

Bonjour Mariette

tu supposes la propriété fausse à un rang 2n+3, donc à un rang impair alors qu'on (tu) a(s) déjà montré qu'à un rang impair, la propriété était vraie.

Le raisonnement par l'absurde me semble une bonne idée, mais il faudrait partir d'un certain rang 2n+4 (d'ailleurs c'est finalement ce que tu as fait, puisqu'en multipliant/divisant par 9, tu comptes te ramener à un rang impair)

Une idée supplémentaire : multiplier par 9 revient à multiplier par 10, et retrancher le nombre qu'on veut multiplier mais le problème a déjà été souligné : les coefficients qu'on obtient devant les 10^k ne sont pas des chiffres..

une question : dans le raisonnement par l'absurde, on considère donc un nombre qui a au maximum 8 chiffres non nuls. Connaissant le nombre de chiffres que possède le nombre 9^2n+4, (pour moi c'est E(log(9^2n+4) ?) on peut aussi exprimer le dernier coefficient a2n+4 (enfin on peut au moins exprimer la puissance de 10 à laquelle il est associé) non?!

à suivre ! enfin moi je suis un peu dépité là !

(ps  : dsl je suis sur un mac, et la mise en page ne semble pas fonctionner...)

* non pas exactement 8 chiffres non nul, mais une somme exactement égale à 9, excusez moi

les contradictions possibles, seraient de montrer

-que le rang impair qui suit (ou qui précède) à une somme de chiffres qui ne dépasse pas neuf

-que le nombre considéré ne peut pas être une puissance de neuf (ça me parait difficile ça !)

-en voyez vous d'autres ?


@blang : oui tu as raison, modulo R^n, on peut toujours trouver un 9^n congru à 1 en même temps j'ai dit en regardant les première puissances de 9, mais j'étais pas spécialement convaincu...

AenarionJD : tu as raison, 2n+3, j'ai connu mieux comme entier pair

Oui la somme est égale à 9 donc c'est au maximum 9 chiffres (et non 8) non nuls.

Bon c'est pas tout ça mais apperemment tout le monde sèche complètement blang !

un ptit indice Sylvestre Kerchou déjà  quel type de raisonnement il faut adopter ?

absurde ? récurrence sur k termes ? peut être traiter les 2 cas dans le même raisonnement même si le cas impair est simple ?


merci

Bonjour,

Alors un petit indice (uniquement pour AenarionJD, bien sûr ) :

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Il faut raisonner modulo N, en choisissant bien ce N... Pas une puissance de 10, donc, d'après ce qui a été dit plus haut

Et sylvestre Kerchou me demande d'ajouter:

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Si S(e) désigne la somme des chiffres de l'écriture décimale du naturel e, comparer S(m+n) et S(m)+S(n)...

bonjour,

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j'ai une vague idee avec a=81^n modulo 11 et s_p la somme des chiffres de rang pair en partant de la droite , s_i celle des chiffres de rang impair a est congru à s_p-s_i modulo 11 et si s_p+s_i=9?   je ne sais pas trop quoi faire bien que Fermat permette de trouver 5 couples pour (s_p;s_i)vu que 81 congru à 4 et 4^5 congru à1 modulo 11
mais peut etre que je fais du hors-piste!

@ sloreviv :

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Moi non plus, je ne sais pas trop ce qu'il faut que tu fasses avec ça
A mon avis, je ne suis sûr de rien, mais raisonner modulo 11 ne suffira pas.

Avec un gros indice:

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Raisonner modulo 99999 peut s'avérer utile

Allez une dernière indication

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Montrer que si N est un entier alors S(N) est supérieur à S(N mod 99999)

Bonjour,

C'est vraiment très rare de voir sloreviv sécher en arithm

blang >> tu me remerciras pour le up


w@lid.

eh ci Walid ca m'arrive!!  mais j'ai hâte de voir la solution

Blang:
un peu d'espoir mais pas fini....

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oui avec encore un peu de temps on va peutetre alors y arriver!! car les restes modulo 99999 sont periodiques de periode 30 et la somme des chiffres des restes est sup ou egal a 9 donc avec ta derniere indication on va peutetre y arriver

@sloreviv:

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Voilà, je crois que tu as tous les ingrédients
Si tu sais prouver que la somme des chiffres de N est supérieure à celle de N mod 99999, tu sais faire l'essentiel.

Allez, je me décide à poster une solution  

Cet exercice est issu du "coin des problèmes" de l'American Mathematical Monthly. A l'époque, j'avais séché très longtemps sur cet exercice à l'énoncé pourtant engageant, et j'avais dû me résoudre à attendre que la solution soit publiée. Fait très rare pour la revue, seuls deux ou trois lecteurs étaient parvenus à envoyer une solution correcte.

Pour résumer, il suffit donc de raisonner modulo 99999 .

Si e est un entier naturel, notons la somme des chiffres de son écriture en base 10.

On utilisera le lemme suivant, simple à prouver :
Si r et q sont des entiers naturels, alors

Comme on l'a remarqué plus haut, seul le cas où n est pair pose problème. Il reste donc à prouver que, pour tout  entier , .

- Notons que 100 divise donc si  , on a , ce qui prouve forcément que .

- Découpons l'écriture décimale d'un entier N en blocs consécutifs de longueur , en commençant à droite :
, avec .
Alors en sommant les blocs , on obtient d'une part un nombre N' congru à N  modulo   et d'autre part tel que d'après le lemme.
En réappliquant le procédé de proche en proche, on obtient une suite N,N',N''... , décroissante pour S , constante modulo et qui conduira forcément au bout d'un certain rang à    (reste de la dividion euclidienne de N par  ).

Conséquence:   .

- Il suffit maintenant d'appliquer le résultat précédent à et m=5.
En effet, on peut constater que 99999 divise 81^31-81, ce qui établit que la suite est 30-périodique. Voici les 30 premiers termes:
81, 6561, 31446, 47151, 19269, 60804, 25173, 39033, 61704, 98073, 43992, 63387, 34398, 86265, 87534, 90324, 16317, 21690, 56907, 9513, 70560, 15417, 48789,51948, 7830, 34236, 73143, 24642, 96021, 77778.
Le seul des entiers précédents dont la somme des chiffres ne dépasse pas strictement 9 est le premier. Ainsi lorsque , . Reste le cas qui entraîne , cas déjà traité plus haut.

effectivement, l'ennoncé ne donne pas l'impression que l'exercice est difficile !

en fait j'ai même du mal à comprendre la correction, jcrois que c'est pas mon niveau

@AenarionJD :

Oh ben pourtant je vois dans ton profil que tu es en Math spé...  
En tout cas, je me tiens à ta disposition pour d'éventuels éclaircissements

ouf la solution!!! merci!!! j'y ai perdu trop de temps ...

Joli

Très fort ce Sylvestre Kerchou