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Defi arithmétique
Soit k un entier supérieur à 2. Pour tout entier naturel n on pose
Montrer qu'il y a une infinité d'entiers n pour lesquels Gn est composé.
PS: N'essayez pas pour k=1. 
Déjà pour k pair, Gn est pair pour tout n.
Ensuite, il suffit de trouver un n0 tel que 2^2^n0 soit un multiple de k (il en existe forcement un), et puis tous les n0+pk, avec p 
seront tels que 2^2^(n0+pk) soit multiple de k, donc Gn sera factorisable par k et il y a une infinité de n tels que Gn soit composé.
Ensuite, il suffit de trouver un n0 tel que 2^2^n0 soit un multiple de k (il en existe forcement un)
Ah? Essaie avec k=3 tu verras.
Cliquez pour afficherAh oui en effet c idiot ce que j'ai dit... aucune puissance de 2 ne peut etre un multiple de 3 ! bon, je révise mes cours de licence et je reviens ^^
>Ayoub
C'est un bon départ.
>HymnToLife
k est donne fixé 
2. Il faut montrer qu'il existe une infinité de Gn composés.
. Mais je crois que je l'ai 
Amusant, non? Trouvé dans un vieux bouquin de Sierpinski! C'est surtout qu'il faut bien voir à tout moment comment l'hypothèse sur k intervient, car sinon...Bonjour tt le monde,
Je suis intéressé par le cas n=4 et k=1 (Quatrième nombre de Fermat).Si quelqu'un peut me dire pourquoi il est premier,je lui serai reconnaissant.
Tu peux faire sa division euclidienne par tous les nombres premiers inférieurs à sa racine... Il n'y en a pas tant que ça de nombre premier inférieur à 257.
Bonjour,
Merci de répondre si vite.Je connais l'algorithme,mais avouez que c'est fastidieux! N'y aurait-il pas une autre façon plus rapide?
Bonjour
Je suis intéressé par le cas n=4 et k=1 (Quatrième nombre de Fermat).Si quelqu'un peut me dire pourquoi il est premier,je lui serai reconnaissant.
Il y a le critère de Pépin :
Fn (= p) est premier si et seulement si 3(p-1)/2
-1 mod p
Cordialement
Frenicle
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