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Défi : calcul d'une intégrale multiple.

Posté par
elhor_abdelali 30-03-09 à 01:16

Bonjour ;

Pour $\fbox{n\in\mathbb{N}^*}\;$ et $\;\fbox{a_1,...,a_n\in\mathbb{R}_+^*}\;$ calculer $6$\fbox{S_n=\int...\int_{\;\;\;[0,1]^n}\;max(x_1^{a_1},...,x_n^{a_n})\;dx_1...dx_n}$

Posté par Défi : calcul d'une intégrale multiple 03-04-09 à 19:30

salut

et merci pour cette intéressante question sur laquelle je cogite dur !

après avoir regardé pour n=2, je propose un semblant d'idée

notons f =max(...) et f_i=x_i^a_i

la relation (*) x₁^a₁=...=x_n^a_n permet de partitionner [0,1]ⁿ en sous-ensembles sur lesquels f=f_i que l'on intégre sur [0,1]^n-1x[s,t]
les réels s et t étant définis par la relation (*)

je dirais donc que cette = f_i (de s_i à t_i)

tout le pb étant évidemment de trouver ces s_i et t_i

voila j'ai pas blanker parce que bof
mais au moins ça va faire remonter le topic
et peu^t-être nous donneras-tu la réponse

merci par avance

Posté par Défi : calcul d'une intégrale multiple 03-04-09 à 19:57

....
en fait il faut peut-être plutôt considérer n! relations du type (*)
(égalité 2 à 2)
...

une aide ?

Posté par re : Défi : calcul d'une intégrale multiple. 03-04-09 à 20:30

Bonjour carpediem

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Posté par Défi : calcul d'une intégrale multiple 04-04-09 à 10:59

resalut elhor

oui c'est ce que je pensais

qq rem: (pour dégrossir la situation et "voir"

O (l'origine) et 1=(1,1...,1) appartiennent à tous les T_i

T_iT_j={x_i^a_i=x_j^a_j}

tiens, poétiquement parlant et par analogie avec une orange, je dirais que les T_i sont des sortes de quartiers de l'hypercube

désolé faut que j'y aille (j'ai une compét de bridge ce we)

à+

MO

(je vais continuer à essayer de voir ces T_i en écrivant proprement les produits d'intervalles)