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 Défi : Démontrer une inégalité 
Posté par 
gui_tou  20-11-07 à 19:14
Bonsoir à tous 

Un petit exercice sous forme de défi :

Citation :
Démontrez que :

Niveau requis  : Terminale et plus

Difficulté : si on veut tout bien démontrer, alors 

Indice pour démarrer :

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Quand on ne sait pas où aller, on tente une récurrence 

Réponses blankées s'il vous plaît 

Bonne chance 
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infophilere :  Défi : Démontrer une inégalité   20-11-07 à 19:54
Salut guitou 

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J'ai pas le temps de regarder tout de suite mais dis moi juste s'il y a plus intéressant qu'une récurrence 
 Posté par 
gui_toure :  Défi : Démontrer une inégalité   20-11-07 à 20:00
Salut Kévin 

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L'initialisation est pas très très compliquée 

Par contre, sans récurrence je ne vois pas trop comment faire 

Mais j'aime bien la méthode. A un moment donné, on est forcément bloqués, et comme dirait mon prof :

Arrivés là, on fait un pari, si ça marche tant mieux et si ça marche pas, ba dommage on passe à l'exo suivant 

L'exo fait appel à tout un tas de choses (limtes, fonctions, exp et ln, !, ...)

 Posté par 
moominre :  Défi : Démontrer une inégalité   20-11-07 à 20:01
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Oui, moi 
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gui_toure :  Défi : Démontrer une inégalité   20-11-07 à 20:02
 
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Les maths, ça commence par un Bézout et ..
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moominre :  Défi : Démontrer une inégalité   20-11-07 à 20:02
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Oups  Salut vous deux ! 
 Posté par 
infophilere :  Défi : Démontrer une inégalité   20-11-07 à 20:04
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Ok ben récurrence :

On suppose vraie n! > [(n+1)/e]^n

On multiplie par (n+1) :

(n+1)! > (n+1).[(n+1)/e]^n

Et pour tout n on a (n+1) > (n+1)/e donc :

(n+1)! > (n+1)/e * [(n+1)/e]^n = [(n+1)/e]^(n+1)

Où est l'erreur ? 

 Posté par 
gui_toure :  Défi : Démontrer une inégalité   20-11-07 à 20:04
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Hello Miss Moumain 

An idea for me exercise ? 
 Posté par 
infophilere :  Défi : Démontrer une inégalité   20-11-07 à 20:05
Alex  >

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J'ai reçu ton mail mais pas moyen de répondre ma boite mail déconne 

Mais t'inquiète pas pour le temps à jarny 
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moominre :  Défi : Démontrer une inégalité   20-11-07 à 20:06
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No, Mister Guillaume, I charade 
 Posté par 
moominre :  Défi : Démontrer une inégalité   20-11-07 à 20:07
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Ok, Kéké 
 Posté par 
gui_toure :  Défi : Démontrer une inégalité   20-11-07 à 20:08
Ouf j'ai cru ne pas trouver l'erreur 

Kévin > 

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Je ne sais pas si vous avez déjà abordé ces notions abstraites de spé, mais : (n+1)+1=n+2 

 Posté par 
infophilere :  Défi : Démontrer une inégalité   20-11-07 à 20:09
Oh le boulet 
 Posté par 
infophilere :  Défi : Démontrer une inégalité   20-11-07 à 20:11
Tu m'as convaincu je m'y penche dès que j'ai un moment de libre (c'est à dire pas avant les vacances prochaines ), non dès que le DS est passé, que j'ai fini le DM de chimie et que j'avance sur celui de maths 

Bonne soirée 
 Posté par 
gui_toure :  Défi : Démontrer une inégalité   20-11-07 à 20:12
dès que le DS est passé, que j'ai fini le DM de chimie et que j'avance sur celui de maths

pas avant les vacances prochaines 
 Posté par 
infophilere :  Défi : Démontrer une inégalité   20-11-07 à 20:14
Les seuls moments de libre c'est en cours, j'y réfléchirai promis 

A demain dans le train ! 
 Posté par 
gui_toure :  Défi : Démontrer une inégalité   20-11-07 à 20:18
A toute en scout' 
 Posté par 
infophilere :  Défi : Démontrer une inégalité   21-11-07 à 14:55
Up 

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Olala c'était long le DS de maths de ce matin, et ces coniques m'ont donné mal au crâne 
 Posté par 
Nightmarere :  Défi : Démontrer une inégalité   21-11-07 à 15:24
Bonjour à tous 

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C'est marrant, on peut montrer très facilement que  mais celle que tu donnes est plus compliquée. Cela dit on trouve un bon encadremment de n! !

Bref, j'ai bien une méthode hors récurrence mais elle semble un peu compliquée.

En effet, j'utilise le résultat suivant :

Si f est concave :

Appliqué à f=ln on arrive à 

Sans mal on montre que le membre de droite est supérieur à ln(n+1)-1

Ainsi on a :

 soit  et en passant à l'exponentielle on a ce qu'on veut.

Je cherche plus simple.

 Posté par 
infophilere :  Défi : Démontrer une inégalité   21-11-07 à 15:39
Salut Jord 

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Bien vu ! Moi j'avais essayé de partir dans le sens inverse de toi, en prenant le log. Tu le sors de ton chapeau le résultat que tu utilises ? 
 Posté par 
Nightmarere :  Défi : Démontrer une inégalité   21-11-07 à 15:49
Non je l'avais démontré dans un exercice. D'ailleurs la démo est corriace.
 Posté par 
gui_toure :  Défi : Démontrer une inégalité   21-11-07 à 20:17
Bonsoir à tous 

Jord >

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Effectivement ta méthode est un peu compliquée, mais l'important c'est d'arriver au résultat 

Je vous conseille vraiment une récurrence, celle-ci se révèlera très intéressante.

Il s'agit d'être audacieux pour en venir à bout 

Bonne chance (et merci) à ceux qui s'y intéressent 
 Posté par 
gui_toure :  Défi : Démontrer une inégalité   22-11-07 à 19:44
Je vous assure c'est un exo assez sympa 

C'est intéressant pour les bons terminales de l' 
 Posté par 
elhor_abdelali re :  Défi : Démontrer une inégalité   23-11-07 à 00:54
Bnsoir ;

juste une idée :

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En partant de l'inégalité  on a pour tout entier  ,  , 

c'est à dire  ce qui donne en posant  , 

et donc   (sauf erreur bien entendu)
 Posté par 
anonymere :  Défi : Démontrer une inégalité   25-11-07 à 01:06
Bonsoir:

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nn!(n+1)/e

il suffit maintenant d'utiliser la concavité de la fonction x-> ln(x)

ln(k)/n ln((n+1)) - ln(2)ln((n+1)/e)

on passe ensuite à l'exponentielle.

Je propose le prolongement suivant :

Soit un une série convergente à termes réels strictement positifs. Pout tout n1, on pose vn=

((i=1..n)(ui)1/n. Montrer que vn converge.

On utilisera certe l'inégalité proposée par gui-tou. 

Bonne chance..
  Posté par 
gui_toure :  Défi : Démontrer une inégalité   27-11-07 à 21:23
Bonsoir ! 

Félicitations à Elhor et à Hatimy qui ont utilisé des méthodes différentes de la mienne, mais toutes autant valables.

 à eux 

Hatimy > J'y penserai lorsque j'aurai étudié plus sérieusement les séries, merci pour l'idée de l'exo en tout cas 

Si une correction (complète) possible vous intéresse, dites-le !

Bonne soirée