Ça me semble vrai.. Voici où j'en suis :
On peut simplifier les contraintes  x,y,z >0  et xyz=1 avec ce changement de variables:



f(x,y,z) = 1/(x+y^20+z^11)+1/(y+x^11+z^20)+1/(z+x^20+y^11)  est donc égal à



Avec



On veut prouver que le maximum de f est 1 et donc que le maximum de g est 1.
On peut trouver le maximum en dérivant par rapport à u et v. J'obtiens des expressions peut simples.
Ou bien prouver que ABC > AB+BC+CA, pas beaucoup plus simple.

Numériquement on voit bien qu'il n'y a qu'un maximum local et comme g est symétrique en u et v (on peut les inverser), on pourrait poser que le maximum se trouve sur la droite u=v. Numériquement on obtient le maximum pour (u,v) = (0,0) et il vaut bien 1.

Une petite illustration Géogébra

salut



avec les conditions x > 0, y > 0 et z > 0 et xyz = 1

donc la fonction f est :

1/ "symétrique" en x, y, z : pour toute permutation s de {x y, z} : f(s(x) s(y) s(z)) = f(x, y z) et s(x)s(y)s(z) = 1
2/ prolongeable en (0, 0, 0) et s(0, 0, 0) = 0
3/ tend vers 0 dès que x ou y ou z tend vers l'infini (une ou deux des variables tend vers +oo)
4/ est continue

donc f admet un maximum

d'après 1/ ce maximum a donc lieu lorsque x = y = z or xyz = 1

donc le maximum de f est f(1, 1, 1 ) = 1/3 + 1/3 + 1/3 = 1

LittleFox : qu'as-tu rentré comme fonction dans ggb ?

merci par avance

Bonjour, carpediem.

Il y a deux fautes dans ton raisonnement.

1) Il est faux que        (avec les notations que tu as employées)

2) Exemple d'une fonction continue sur , "symétrique en ", admettant un maximum en , avec distincts 2 à 2.

1/ harg damned !!!

2/ et en quel point le maximum ?  

merci perroquet

Maximum en    (et 5 autres points déduits par symétrie)

ha ben ouais j'suis bête !!!

j'ai été effrayé par la bête sans même reprendre mon souffle !!!

merci  

PS : en fait ici il n'y a invariance que par permutation circulaire effectivement !!!

Bonjour à tous.

La fonction   étant convexe, on a:
  

On rappelle que, pour tout triplet de réels strictement positifs:
    (inégalité arithmético-géométrique)

Donc, si  , alors:
     ,            ,  

Et donc      

Dommage, la convexité de donne l'inégalité dans l'autre sens !

Bonjour
D'accord avec carpediem 19h03. Le max est 1 pour x=y=z=1

Bonjour, jandri.

En effet, la démonstration que j'ai faite le 10 octobre à 22h38 est fausse   .
Merci.

Bonjour a tous,

Pourriez-vous proposer une solution en utilisant les inégalités de moyenne arithmetico géometrique ?

Cordialement

Quelque chose du genre:

f(x,y,z) = 3/H(A,B,C)

Avec H(...) la moyenne harmonique et (A,B,C) = (x+y^20+z^11, y+x^11+z^20, z+x^20+y^11)

On a H(A,B,C) >= min(A,B,C)
Or A,B et C sont des sommes de positifs dont l'un au moins est >= 1 puisque au moins un de x, y ou z est >=1
Donc H(A,B,C) >= min(A,B,C) >= 1
Donc f(x,y,z) <= 3.

Youhou f est limitée ... mais pas encore à 1

LittleFox : merci !

dommage que "la fenêtre sorte de l'écran" ... mais on "comprend" ce que tu as rentré

Bonjour ,

Je propose :

a= 20b= 11c  ;

Les plus petits entiers satisfaisant cette conditions sont :
a=220,  b=11, c=20.



A  vous...

Bonjour,
Ce n'est pas dans mes cordes,mais si on va sur le graphe de Littlefox on peut avec
la molette de la souris faire varier l'axe c'est de l'art

Bonjour,
@Eurotruck,
Je suppose que tu as voulu écrire ceci :



Qui donne

Mais je ne vois pas comment continuer