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* défi limite *

Posté par
xunil 07-04-08 à 17:20

bonjour,

deux limites sympa: la niaise

4$\blue{\clubsuit} 4$\lim_{n\to+\infty}\frac{n^n}{n!} 4$\blue{\clubsuit}

la jolie:

4$\blue{\clubsuit} 4$\lim_{n\to+\infty}\frac{(n!)^{\frac{1}{n}}}{n} 4$\blue{\clubsuit}

je pourrais donner des encadrements pour aider ceux qui préfèreront résoudre par les outils de terminale...

Posté par
infophilere : * défi limite * 07-04-08 à 17:30

Salut

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Posté par
xunilre : * défi limite * 07-04-08 à 17:46

kevin :

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fusionfroidere : * défi limite * 07-04-08 à 19:02

Salut kévin

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tchuss

Posté par
fusionfroidere : * défi limite * 07-04-08 à 19:02

au fait salut xunil ^^

Posté par
xunilre : * défi limite * 07-04-08 à 19:10

bonjour fusionfroide ,

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Posté par
simon92re : * défi limite * 07-04-08 à 19:18

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Posté par
xunilre : * défi limite * 07-04-08 à 19:23

simon :

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Posté par
simon92re : * défi limite * 07-04-08 à 19:27

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fusionfroidere : * défi limite * 07-04-08 à 19:27

kévin >>

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xunil >>
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Posté par
xunilre : * défi limite * 07-04-08 à 19:30

simon :

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fusionfroidere : * défi limite * 07-04-08 à 19:31

xunil >>

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fusionfroidere : * défi limite * 07-04-08 à 19:32

oups désolé pour le blank je le signale

Posté par
xunilre : * défi limite * 07-04-08 à 19:34

fusionfroide:

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Posté par
xunilre : * défi limite * 07-04-08 à 19:37

ah tu parlais de la première : avec ta première expression en enlevant ton n/n tu as démontré que \frac{n^{n-1}}{n!}\ge 1 après tu multiplis par n et par comparaison ca tend vers +oo mais ca revient à ta méthode ...

Posté par
tealcre : * défi limite * 07-04-08 à 19:37

Bonsoir à tous

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Posté par
infophilere : * défi limite * 07-04-08 à 21:19

Oups je n'avais pas vu qu'il y avait d'autres réponses !

Bonsoir tout le monde

Posté par
infophilere : * défi limite * 08-04-08 à 20:25

Je viens seulement de voir ta question xunil, donc voilà ma méthode :

3$ \rm U_n=\frac{(n!)^{\frac{1}{n}}}{n}

On passe au log :

3$ \rm \ln(U_n)=\frac{1}{n}\[\ln(n!)-n\ln(n)\]=\frac{1}{n}\[\Bigsum_{k=1}^{n}\ln\(\frac{k}{n}\)\]

On reconnaît une somme de Riemann, on passe à la limite :

3$ \rm \lim_{n\to +\infty}\ln(U_n)=\Bigint_{0}^{1}\ln(t)dt=\[t\ln(t)-t\]_{0}^{1}=-1

Donc en passant à l'exponentielle : 3$ \rm \red \fbox{\lim_{n\to +\infty}U_n=e^{-1}}

Posté par
xunilre : * défi limite * 08-04-08 à 20:47

merci kévin pour ta perfectibilité, ton temps et ta sympathie lol

oui j'avais apercu les sommes de riemann avec les séries ... En fait ca va deux fois plus vite que ma méthode.

merci

Posté par
infophilere : * défi limite * 08-04-08 à 20:51

Oh tout ça ben merci à toi

C'est chouette les sommes de Riemann, tu verras ça l'an prochain dans l'intégration, tout est repris du début c'est bien plus complet qu'en Term ^^

Bon allez vais réviser la thermo j'ai DS demain aprem

A+

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : * défi limite * 08-04-08 à 23:06

Attention infophile , les sommes de Riemann c'est pour une fonction continue sur un segment [a,b].

Ceci dit , il existe une extention aux fonctions continues monotones sur ]a,b] ,
mais ça mérite quand même une petite démonstration (sauf erreur bien entendu)

Posté par
infophilere : * défi limite * 09-04-08 à 06:48

Bonjour ehlor

C'est ce que je me suis dit quand j'ai calculé l'intégrale mais comme ça avait l'air de marcher...

Tu as la démo sous le coude ? (J'ai pas trop le temps d'y réfléchir ).

Merci de ton intervention

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : * défi limite * 09-04-08 à 16:12

En fait il suffit de l'écrire :

en notant , pour n\ge2 , 3$\fbox{S_n=\ell n(U_n)=\frac{1}{n}\Bigsum_{k=1}^{n}\ell n(\frac{k}{n})} et en utilisant la croissance et la continuité de x\to\ell n(x) sur ]0,+\infty[ on a ,

3$\fbox{\forall k\in\{1,..,n-1\}\;\;,\;\;\frac{1}{n}\ell n(\frac{k}{n})\le\int_{\frac{k}{n}}^{\frac{k+1}{n}}\ell n(t)dt\le\frac{1}{n}\ell n(\frac{k+1}{n})} et donc par sommation 3$\fbox{S_n\le\int_{\frac{1}{n}}^{1}\ell n(t)dt\le S_n-\frac{1}{n}\ell n(\frac{1}{n})}

Posté par
infophilere : * défi limite * 09-04-08 à 18:16

Merci ehlor

Posté par
fusionfroidere : * défi limite * 09-04-08 à 22:20

Joli élhor

Je retiens la méthode...

Posté par
fusionfroidere : * défi limite * 09-04-08 à 22:26

Citation :
Ceci dit , il existe une extention aux fonctions continues monotones


Que direde fonction s contniue non monotone

Posté par
fusionfroidere : * défi limite * 10-04-08 à 19:46

n'importe quoi, désolé j'avais un peu bu hier (en plus c'est vrai...)


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