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Je n'ai pas fait les polynômes minimaux encore , par contre j'ai trouvé un truc peut être avec les espaces propres :

On considère et

On montre que

Alors :

Par conséquent la somme des SEP de M est :
(formule barbare je sais)
Ainsi si Ker(A) n'est pas réduit à 0 et que X est dans Ker(A)\{0}, (X,X) n'est pas dans E et M n'est pas diagonalisable.

Si M est diagonalisable alors et Ker(A)={0}
En outre pour tout Y dans Cⁿ, (Y,0) est dans E et par conséquent . A est donc diagonalisable et Ker(A)={0} (ce qui revient à dire que A est inversible ici évidemment)

Je cherche la réciproque

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Ca m'a l'air bon pour la réciproque :

On suppose A diagonalisable et inversible.


De plus pour tout :

d'où et donc M est diagonalisable.

Bon je me mets à la preuve avec les polynômes caractéristiques et minimaux.

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j'avance j'avance.

On considère la matrice . (Matrice nulle partout sauf sur la diagonale où il n'y a que des 1 et un X à la iéme ligne).
Prémultiplier par D revient à multiplier la ième ligne par X.
Bon ça c'est pour les opérations élémentaires.

On considère
Alors :

On a donc :

Or :
(première ligne moins X fois la seconde)
ie :

soit

au final

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Quel boulot! la partie polynôme caractéristique est OK. L'autre aussi, d'ailleurs, mais c'est très compliqué, alors que ça vient facilement des polynômes minimaux, qui, eux, ne viennent pas si facilement. Je laisse encore trainer quelque jours...

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Pour les polynômes caractéristiques:

Je dessine det.
Je fais apparaître det en bas à gauche et des zéros en bas à droite en ajoutant aux dernières lignes les premières multipliées par X.
En développant n fois suivant la dernière colonne, il reste det, conclusion attendue.

Pour les polynômes minimaux:

En faisant des produits par blocs, je calcule les puissances successives de M.
Je trouve deux formulations différentes suivant la parité de la puissance. Cela m'incite, pour calculer P(M), à écrire le polynôme P(x) sous la forme
(en séparant monômes pairs et monômes impairs).

P(M) apparaît alors comme formée de 4 blocs:
R(A) , S(A), A.S(A) et R(A).

P est donc annulateur pour M si et seulement si R et S sont annulateurs pour A, et son degré est au moins le double de celui de R.
En prenant R(x) polynôme minimal de A et S nul, on voit que est multiple du polynôme minimal de M, et on ne peut trouver un annulateur pour M de degré plus petit.
est donc bien le polynôme minimal de M.

Pour la diagonalisation:

M est diagonalisable si et seulement si son polynôme minimal n'a que des racines simples donc ssi R(x) n'a que des racines simples non nulles donc ssi A est diagonalisable et inversible.