Niveau exercices

DEFI N°12: comment trouver un tel d?

Posté par
monrow 24-05-07 à 15:31

Re-Bonjour

Un autre pour aujourd'hui, avant que je pars, ça va traiter un peu d'arithmétique:

Sujet: arithmétique
Niveau: Terminales et plus
Difficulté: 3 ***

L'énoncé:

Citation :
Soit a et b deux entiers de $\mathbb{N}$ tels que: $a \ge 3$ et a impair.

On pose: $d=pgcd[(2^a-1),(2^b+1)]$

Montrer que d=1

Bonne chance

Posté par kuid312 (invité)re : DEFI N°12: comment trouver un tel d? 24-05-07 à 17:58

Salut

Cliquez pour afficher

Kuider

Posté par re : DEFI N°12: comment trouver un tel d? 24-05-07 à 20:55

Cliquez pour afficher

Posté par re : DEFI N°12: comment trouver un tel d? 24-05-07 à 21:34

bonjour Monrow

Cliquez pour afficher

Posté par re : DEFI N°12: comment trouver un tel d? 24-05-07 à 21:37

Bonjour plumemeteore.

Cliquez pour afficher

Posté par re : DEFI N°12: comment trouver un tel d? 26-05-07 à 15:50

Alors un petit up pour ceux qui l'ont oublié!

Posté par re : DEFI N°12: comment trouver un tel d? 22-06-07 à 22:58

$\huge \red SOLUTION$

On a: $d=pgcd[(2^a-1),(2^b+1)]$

Donc il existe $\alpha$ et $\beta$ de $\mathbb{N^*}$ tel que:

$2^a-1=d\alpha$ et $2^b+1=d\beta$ tel que $pgcd(\alpha,\beta)=1$

On a alors: $2^{ab}=(2^a)^b=(d\alpha+1)^b$

Donc: $(d\alpha+1)^b\equiv 1[d]$ ce qui veut dire: $2^{ab}\equiv 1[d]$

de la même façon on montre en utilisant $\beta$ que $2^{ab}\equiv -1[d]$

D'où: $\{{2^{ab}\equiv 1[d]\atop 2^{ab}\equiv -1[d]} \Rightarrow 0\equiv 2[d] \Rightarrow d\in \{1,2\}$

Puisque $2^a-1$ et $2^b+1$ sont pairs sont $d$ est pair.

On peut conclure alors que: $5$\blue \fbox{d=1}$