Salut

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Ca découle directement de Cauchy-Schwarz

Jord>>

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On travaille comme si on ne connait pas CS Je veux une démo qui lui est propre
Je veux encore tes défis, même si je ne les trouve que raaaaaaarement (peut-être une mais je les aime, j'attends )

Cliquer ici pour voir la réponse

Pour tout lambda réel :

En développant :


Si .

Alors :
En effet :
Si alors => Contradiction.
Même idée avec

On a bien l'inégalité voulue (puisque 0 est bien inférieur à 0 )

Si maintenant

Comme le trinôme d'indéterminée lambda est toujours positif, son discriminant l'est aussi. Or ce discriminant est
En passant le produit d'intégrale à gauche et en prenant la racine, c'est terminé.

jolie façon de blanker Nightmare

Merci à toi T_P de m'avoir montré comment faire


monrow >

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Il fallait lire : le discriminant est négatif

Au fait, pourquoi restreindre à deux fonctions continues? Pour des fonctions continues par morceau je pense que ça marche aussi, et ça doit même marcher pour des fonctions monotones bornées.

Jord>>

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une méthode plus simple est de réfléchir au discriminant réduit du polynôme que tu as démontré

Soit de

Pour tout de , on a:

Donc: (puisque a<b)

c-à-d:

d'où:

On pose:

Puisque: est un polynôme du deuxième degré et et pour tout de

Donc: son discriminant réduit est négatif

c-à-d:

donc:

D'où l'inégalité de Minkowski:

Excusez moi de remonter ce topic, mais vous êtes sur que c'est l'inégalité de Minkowski ?

Ce que je vois, c'est l'inégalité de Cauchy Schwarz. Celle de Minkowski fait intervenir une somme non ?

L'inégalité qu'elle soit avec une intégrale ou une somme ne change pas grand chose, je connais d'ailleurs mieux l'inéglité de cauchy-schwarz sous forme de somme par ce qu'elle est utile dans la démonstration du fait que la norme euclidienne définie bien une norme. Par contre l'inéglité présenté ici est l'inégalité de cauchy-schwarz.