Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau exercices
Partager :

DEFI N°5: Comparer des séries

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
20-05-07 à 17:19

RE-bonjour

Alors, je veux poster le premier défi pour les bac +. Peut être pas trop dure mais il faut y réfléchir ...

A vous:

Sujet: Séries
Niveau: Maths sup et plus
Difficulté: 3 ***


L'énoncé:

Citation :

Soient a_1,a_2,...,a_n des réels connus non nuls.

Déterminer les réels: r_1,r_2,...,r_n qui réalisent:

4$ \bigsum_{k=1}^n r_k(x_k-a_k) \le \sqrt{\bigsum_{k=1}^n x_k^2} - \sqrt{\bigsum_{k=1}^n a_k^2}

quels que soient x_1,x_2,...,x_n



N'oubliez pas les blanqués. Bonne chance

Posté par
Nightmare
re : DEFI N°5: Comparer des séries 20-05-07 à 17:24

Salut monrow

 Cliquez pour afficher

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : DEFI N°5: Comparer des séries 20-05-07 à 18:14

Nightmare>>

 Cliquez pour afficher

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : DEFI N°5: Comparer des séries 21-05-07 à 15:21

Citation :


Indice

essayer l'inégalité de Cauchy-Schwartz

Posté par
Nightmare
re : DEFI N°5: Comparer des séries 21-05-07 à 16:03

Salut Monrow

Cliquer pour afficher la réponse

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : DEFI N°5: Comparer des séries 21-05-07 à 20:57

Nightmare>>

 Cliquez pour afficher

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : DEFI N°5: Comparer des séries 22-05-07 à 15:13

Personne?

Posté par kuid312 (invité)re : DEFI N°5: Comparer des séries 22-05-07 à 15:21

Salut,


 Cliquez pour afficher



Kuider

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : DEFI N°5: Comparer des séries 22-05-07 à 15:22

 Cliquez pour afficher

Posté par kuid312 (invité)re : DEFI N°5: Comparer des séries 22-05-07 à 15:28

Euh..est si c'est sa

 Cliquez pour afficher




Kuider

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : DEFI N°5: Comparer des séries 22-05-07 à 15:31


Donc je vais autoriser de ne pas utiliser du blanqué. Je poste ta réponse kuider



4$\vareps=\Bigsum_{i=\1}^{n-\1}\frac1{\Del~x}\Bigint_{x_i}^{x_{i+\1}}\{\frac1{\Del~x}\big[(x_{i+1}-x)y_i^{5$\star}+(x-x_i)y_{i+1}^{5$\star}\big]-f(x)\}^\2dx

(je pense que c'est la bonne réponse )

Posté par kuid312 (invité)re : DEFI N°5: Comparer des séries 22-05-07 à 15:34



Non

Je disais si l'expression latex c'est sa.

Je ne la comprends même pas

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : DEFI N°5: Comparer des séries 23-05-07 à 23:40

\huge \red SOLUTION

- On prend: x_1=x_2=...=x_n=0

On trouve: \fbox {\sqrt{\bigsum_{k=1}^n a_k^2} \le \bigsum_{k=1}^n r_ka_k} \fbox{1}

- On prend: x_k=2a_k avec: 1 \le k \le n

On trouve: \fbox {\sqrt{\bigsum_{k=1}^n a_k^2} \ge \bigsum_{k=1}^n r_ka_k} \fbox{2}

de (1) et (2): \fbox {\sqrt{\bigsum_{k=1}^n a_k^2} = \bigsum_{k=1}^n r_ka_k} \fbox{3}

- En utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwartz On trouve:

\fbox{\bigsum_{k=1}^n r_ka_k \le \sqrt{\bigsum_{k=1}^n a_k^2}\sqrt{\bigsum_{k=1}^n r_k^2}} \fbox{4}

de (3) et (4) : \fbox{\sqrt{\bigsum_{k=1}^n r_k^2} \ge 1} \fbox{5}

- On prend: x_k=r_k avec: 1 \le k \le n

On trouve: \fbox{\bigsum_{k=1}^n r_k^2 - \bigsum_{k=1}^n r_ka_k \le \sqrt{\bigsum_{k=1}^n r_k^2} - \sqrt{\bigsum_{k=1}^n a_k^2}}

et en utilisant la relation (3): \fbox{\bigsum_{k=1}^n r_k^2 \le 1} \fbox{6}

de (5) et (6): \sqrt{\bigsum_{k=1}^n r_k^2} = 1

et de la relation (4): \bigsum_{k=1}^n r_ka_k = \sqrt{\bigsum_{k=1}^n a_k^2}

Donc: r_k=\lambda a_k et de la relation (3):

4$ \lambda=\frac{1}{\sqrt{\bigsum_{k=1}^n a_k^2}}

et: 4$ \blue \rm \fbox{r_i=\frac{a_i}{\sqrt{\bigsum_{k=1}^n a_k^2}}} avec 1 \le i \le n



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !