DEFI N°6: Comment on a pu le faire?

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DEFI N°6: Comment on a pu le faire?
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monrow   21-05-07 à 00:16
Bonsoir,

alors, déjà c'est le 6ème défi. Mais là, c'est vous qui devrez trouver comment on a pu conjecturer ces trucs là..

Je ne vais pas me tarder..

Sujet: Logique

Niveau: première et plus

Difficulté: 2 **

L'énoncé

Citation :

Sachant que:   et    et  

Quelle l'inégalité générale (en fonction d'une variable x) qu'on a utilisé pour les prouver? Démontrez là

*** Pour les plus forts: montrer que:  ***
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cailloux re : DEFI N°6: Comment on a pu le faire?  21-05-07 à 00:50
Bonsoir,

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Pour x>0, (1+x)^n > 1+nx (Bernoulli)

On développe (1+x)^n avec la formule du binôme
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jamo re : DEFI N°6: Comment on a pu le faire?  21-05-07 à 05:28
Bonjour,

je trouve les exercices que tu proposes plutot intéressants, mais pour l'instant, je trouve qu'ils ne sont abordables que pour des élèves de Terminale qui ont un très bon niveau. 
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_Estelle_re : DEFI N°6: Comment on a pu le faire?  21-05-07 à 06:41
D'accord avec toi, jamo 

Monrow, c'est quand même un peu difficile pour des élèves de première (je trouve ), malgré ce qui est indiqué. C'est toi qui fixe les niveaux ?

Estelle 
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jamo re : DEFI N°6: Comment on a pu le faire?  21-05-07 à 06:57
Monrow étant au Maroc, les niveaux n'ont strictement rien à voir avec les niveaux Français ! 

Le niveau au Maroc est bien plus élevé...

Pour l'instant, aucun des 6 défis proposé n'est abordable par un élève "moyen" de Terminale S français, il cesserait de chercher au bout de 5 minutes, et cela le réconforterait dans son peu d'attirance pour les maths ! 
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moctarre : DEFI N°6: Comment on a pu le faire?  21-05-07 à 10:34
Bonjour,

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ces inégalités ont été prouvé à partir de l'inégalité de Bernouilli.On remarque que 3^n=(1+2)^n ,2^n=(1+1)^n

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Démontration (par récurrence)

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Soit x un réel positif,montrons que (1+x)^n>=1+x^n

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pour n=0,l'inégalité est vraie

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Maintenant supposons l'inégalité vraie jusqu'à un rang n et démontrons que c'est vraie au rang n+1

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(1+x)^n>=1+x^n

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(1+x)^n(1+x)>=(1+x^n)(1+x)

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(1+x)^n+1>=1+x+x^n+x^n+1>=1+x^n+1 ,donc l'inégalité est vraie au rang n+1.

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Alors quelque soit x positif et n appartenant à N,(1+x)^n>=1+x^n
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moctarre : DEFI N°6: Comment on a pu le faire?  21-05-07 à 11:02
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pour le 2é,d'après l'inégalité de Bernouilli on a:

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(1+E(1/n))^n>=1+nE(1/n)

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or on sait que E(1/n)+1>1/n donc nE(1/n)>1-n

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de ça on en déduit que (1+E(1/n))^n>2-n
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infophilere : DEFI N°6: Comment on a pu le faire?  21-05-07 à 11:33
Bonjour 

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il s'agit de l'inégalité de Bernoulli qui dit que pour tout entier n et tout réel x non nul supérieur à 0 : (1+x)^n > 1+nx. Pour la démo l'étude de la fonction fn(x) = (1+x)^n-(1+nx) devrait faire l'affaire. J'ai pas le temps d'essayer de suite je vais en cours 
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monrow re : DEFI N°6: Comment on a pu le faire?  21-05-07 à 14:53
cailloux>>
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Bien vu. Et pour la question complémentaire??

Jamo>> les elèves doivent toujours essayer et chercher .. Si je poste des défis que tout le monde pourra trouver facilement, ce n'est pas la peine de donner de tels défis 

Moctar>> Cliquez pour afficher
Bien vu. C'est tout à fait ce qui est demandé 

Kevin>> Cliquez pour afficher
Oui. TU pourras je pense la trouver avec une étude de fonction. Mais y a-t-il une autre méthode plus simple ?
 Posté par 
jamo re : DEFI N°6: Comment on a pu le faire?  21-05-07 à 17:06
Citation :
les elèves doivent toujours essayer et chercher .. Si je poste des défis que tout le monde pourra trouver facilement, ce n'est pas la peine de donner de tels défis 

Non, je voulais dire que les exercices que tu proposes ne s'adressent qu'aux 2 meilleurs élèves d'une classe de TS, c'est plutot limité, j'avais cru comprendre que tes défis pourraient s'adresser à un plus grand nombre.
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infophilere : DEFI N°6: Comment on a pu le faire?  21-05-07 à 20:30
Bonsoir 

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Bon alors j'ai vérifié cet après-midi, l'étude de fonction a l'air de marcher.

fn(x)=(1+x)^n-(1+nx)

La dérivée est fn'(x)=n(1+x)^(n-1)-n=n[(1+x)^(n-1)-1]

La dérivée est nulle ssi x=0 ou si n=1 donc on fixe n>1

Ensuite pour -1 < x <0 <=> 0< 1+x < 1 => 0 < (1+x)^(n-1) < 1 <=> (1+x)^(n-1)-1 < 0 <=> fn'(x)<0

Pour x > 0 on a (1+x)>1 => (1+x)^(n-1) > 1 <=> (1+x)^(n-1)-1 > 0 <=> fn'(x)>0

Donc on a f strictement décroissante sur ]-1;0[ et strictement croissante sur ]0;+oo[ avec fn(0)=0 donc pour tout x non nul strictement supérieur à -1 l'inégalité est vérifiée.

Tu attends autre chose monrow ?
 Posté par 
infophilere : DEFI N°6: Comment on a pu le faire?  21-05-07 à 20:33
Citation :
Pour l'instant, aucun des 6 défis proposé n'est abordable par un élève "moyen" de Terminale S français

Si, le défi n°4 sur la somme annulatrice est faisable. Maintenant c'est clair que le défi n°1 était super balèse (comme le 3 d'ailleurs ), mais les indices sont là pour nous aider aussi.
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monrow re : DEFI N°6: Comment on a pu le faire?  21-05-07 à 20:38
Kevin>>
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Très bonne méthode Kevin. Je pense que c'est bien avec une étude de fonction. La deuxième méthode c'est la récurrence Merci beaucoup pour ta défense 
 Posté par 
infophilere : DEFI N°6: Comment on a pu le faire?  21-05-07 à 20:40
monrow > 
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Ah oui j'y pense jamais à la récurrence (j'aime pas ça faut dire ), je vais voir comment faire 
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monrow re : DEFI N°6: Comment on a pu le faire?  21-05-07 à 20:42
Kevin>>
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Ce n'est pas dur. Ne t'inquiète pas. 
 Posté par 
infophilere : DEFI N°6: Comment on a pu le faire?  21-05-07 à 20:50
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Effectivement en deux ou trois lignes c'est réglé... pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué 

Pour l'initialisation c'est Ok parce que : (1+x)² > 1+2x du fait que (1+x)²=1+2x+x² et x²>0.

Ensuite l'hérédité :

(1+x)^k > 1+kx

(1+x)^k*(1+x) > (1+kx)(1+x) (car on prend x>-1)

(1+x)^(k+1) > 1+x+kx+kx²

(1+x)^(k+1) > 1+x(k+1)+kx² > 1+(k+1)x

Et voila 
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Nightmarere : DEFI N°6: Comment on a pu le faire?  21-05-07 à 20:51
Bonsoir 

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Une manière rapide de le démontrer est d'utiliser la convexité de la fonction x->(1+x)n. Elle est alors au dessus de sa tangente en 0 d'équation y=1+nx.

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monrow re : DEFI N°6: Comment on a pu le faire?  21-05-07 à 20:59
Nightmare>>
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Vraiment une méthode magnifique!! Trop joli 

erreur de balises
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Nightmarere : DEFI N°6: Comment on a pu le faire?  21-05-07 à 21:04
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lafol re : DEFI N°6: Comment on a pu le faire?  21-05-07 à 22:28
Dans le "pour les plus forts ", n désigne un entier comme d'habitude ? ça paraît alors bien simple....
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monrow re : DEFI N°6: Comment on a pu le faire?  21-05-07 à 22:35
lafol>> Oui. n est un entier .. (c'est facilé ) (pour les plus forts c'est à dire les bac+, parce les lycéens ne connaissent pas en général la partie entière )

Estelle>> Désolé, je viens de voir ta question. Non, les exercices sont destinés à de tels niveaux 
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lafol re : DEFI N°6: Comment on a pu le faire?  21-05-07 à 22:51
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mais alors, 1/n < 1 dès que n > 1, donc sauf si n=1, E(1/n)=0, et (1+E(1/n))^n =1^n = 1, alors que 2-n < 1 car n>1, d'où l'inégalité.

si n=1, le membre de gauche vaut (1+1)^1=2 et celui de droite vaut 2-1=1 : ça marche encore
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monrow re : DEFI N°6: Comment on a pu le faire?  21-05-07 à 22:59
lafol>>
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OUi. Donc au lieu d'une disjonction de cas, on pourrait faire: d'après l'inégalité de Bernouilli (1+x)^n>1+nx donc en posant x=E(1/n)...... Puis on utilise une petite inégalité qui concerne la partie entière.  
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lafol re : DEFI N°6: Comment on a pu le faire?  21-05-07 à 23:02
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d'un autre côté, sauf si n vaut 1 ou 2, tu nous demandes de prouver que 1 est supérieur à un nombre négatif : pas besoin d'artillerie lourde pour ça !
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monrow re : DEFI N°6: Comment on a pu le faire?  21-05-07 à 23:08
oui. C'est vrai 
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monrow re : DEFI N°6: Comment on a pu le faire?  23-05-07 à 23:47

L'inégalité utilisée est: l'inégalité de Bernoulli.

  Posté par 
monrow re : DEFI N°6: Comment on a pu le faire?  23-05-07 à 23:54
Poste pressé 

Sa démonstration peut être faite soit par une récurrence, soit par une étude de fonction (proposée par Kevin) soit par la convexité de la fonction  (proposé par Jord)

Pour la dernière question:

On pose x=

On a d'après l'inégalité de Bernoulli:

Puisque: 

Donc: 

D'où: