Défi niveau terminal ---> Suite :) - Forum mathématiques exercices - 289404

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Défi niveau terminal ---> Suite 
Posté par 
olive_68  06-07-09 à 22:39
Bonjour 

Un petit défi niveau terminal pour vous histoire de pas trop se rouiller ces vacances 

Soit  la suite définie par :

On pourra poser également 

    Montrer que pour tout réel  on a :

    Montrer par récurrence :

    Montrer que  converge, préciser sa limite.

Voilà Voilà Cherchez bien 
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numero10re : Défi niveau terminal ---> Suite   06-07-09 à 23:32
Salut olive_68,

Peut importe la méthode ?La fin justifie les moyens ?

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Car je sais pas pourquoi mais je sent qu'on devrait faire intervenir des intégrales non? Enfin pour l'instant je vois pas mais je pourrais faire deux études de fonction successive pour éssayé de démontrer la A.
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raymond re : Défi niveau terminal ---> Suite   06-07-09 à 23:34
Bonsoir.

Sauf erreur :

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 Posté par 
olive_68re : Défi niveau terminal ---> Suite   06-07-09 à 23:35
Salut numero10 

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Il y a plusieurs méthodes pour montrer le A.  une très simple (Comme tu l'as dis dans ton post) et une autre avec intégrale puisque  

 Posté par 
olive_68re : Défi niveau terminal ---> Suite   06-07-09 à 23:38
Salut raymond 

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 Tout à fait d'accord  Merci d'avoir participé .

 Posté par 
raymond re : Défi niveau terminal ---> Suite   06-07-09 à 23:59
Rebonsoir olive_68

Si tu as besoin de détails, tu demandes.
 Posté par 
olive_68re : Défi niveau terminal ---> Suite   07-07-09 à 00:02
Rebonsoir raymond >> 
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Je n'en doute pas que tu y sois arrivé  Voilà pourquoi je ne t'ai pas demandé de détails 

 Posté par 
numero10re : Défi niveau terminal ---> Suite   07-07-09 à 00:05
Bon voilà une méthode

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Oui c'est de quoi je partais et je n'y suis même pas vraiment arrivé sinon une méthode avec des intégrales:

x²0

1-x²1

(1+x)(1-x)1

1-x

(1-x)

d'où

ln(1+x) car 1+x>0

Après assez facile car:

1+x1

Donc:

1

On a alors:

1

D'où

ln(1+x)x
 Posté par 
numero10re : Défi niveau terminal ---> Suite   07-07-09 à 00:06
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J'ai oublié les dx à toutes mes intégrales 
 Posté par 
olive_68re : Défi niveau terminal ---> Suite   07-07-09 à 00:08
numero10 
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 Je suis d'accord avec toi 

 Posté par 
numero10re : Défi niveau terminal ---> Suite   07-07-09 à 00:12
 Je vais pouvoir dormir je continuerai un autre jour sinon je risque de pas arriver à me lever demain matin. 

Bonne soirée à vous deux,

 Posté par 
olive_68re : Défi niveau terminal ---> Suite   07-07-09 à 15:37
Petit up pour ceux qui n'aurait pas vu le défi 

 Posté par 
zamotre : Défi niveau terminal ---> Suite   07-07-09 à 16:18
Je vais essayer olive ^^
 Posté par 
olive_68re : Défi niveau terminal ---> Suite   07-07-09 à 16:22
Cool!  Pense à blanker tes reponses 

 Posté par 
girdavre : Défi niveau terminal ---> Suite   07-07-09 à 18:48
Bonjour.

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A. Pour,  et en intégrant sur  il vient l'inégalité demandée, c'est_à-dire:

.

B. On a pour  donc en sommant de  à  il vient   et par linéarité de la somme il vient 

Je n'ai pas respecté la consigne, mais c'est un bon moyen de retrouver la formule.

C. Cette fois-ci on va la respecter! En utilisant à fond la propriété  pour  et  strictement positifs (ce qui est le cas ici) on a d'après A. que 

 donc en passant à la limite 

() on a 

 et comme la fonction exponentielle est continue il vient .
 Posté par 
olive_68re : Défi niveau terminal ---> Suite   08-07-09 à 01:12
Salut girdav >>
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Bien joué  c'est bien la bonne limite et c'est sympa de voir qu'il y a d'autre manière de faire les questions 

 Posté par 
girdavre : Défi niveau terminal ---> Suite   08-07-09 à 09:54
Salut olive_68.

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La méthode que j'ai utilisé à la question B. permet plus généralement d'établir un lien de récurrence sur  pour .
 Posté par 
olive_68re : Défi niveau terminal ---> Suite   08-07-09 à 11:06
girdav >>

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Oui j'avais déjà vu cette méthode sur wikipédia pour faire comme tu as fait toi pour différent exposant mais je pensais pas que quelqu'un allait me la sortir dans ce topic.

 Posté par 
girdavre : Défi niveau terminal ---> Suite   08-07-09 à 12:48
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Juste pour corriger une erreur:  et non 
 Posté par 
olive_68re : Défi niveau terminal ---> Suite   09-07-09 à 00:00
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Ah bah pour ça je pouvais pas corriger ^^

Sinon à part girdav, personne ne veut tenter ? 
 Posté par 
numero10re : Défi niveau terminal ---> Suite   09-07-09 à 00:36
J'avais oublié cet éxo ,

Je tente quelque chose pour la démo par récurrence mais elle parait pas évidente encore moins à 00:17

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1ere étape: Si n=1 alors  Vrai pour le premier terme

On admet alors que   est vrai au rang n.

2éme étape: On démontre que Or on sait que  

et que:

Donc on a:

D'où:

Si et seulement si:

C'est bien le cas.

Après je sais pas si c'est valable mais c'est la seule chose que j'ai pu trouver. 
 Posté par 
olive_68re : Défi niveau terminal ---> Suite   09-07-09 à 00:51
En fait tu fais un peu les choses à l'envers.. 

Tu verras que c'est assez proche de se que tu as fait mais pas de la bonne manière en fait (Enfin quoi que c'est peut-être 
 Posté par 
olive_68re : Défi niveau terminal ---> Suite   09-07-09 à 00:53
Oups bug, 

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je voulais dire que c'est peut-etre bon au final)

Sinon, Sépare plutôt la somme au rang n+1 en deux sommes: une du rang 0 à n et l'autre au rang n+1 et sers toi de l'hypothese de récurrence pour prouver la propriété au rang n+1

Sinon une petite remarque, on ne suppose pas la propriété vrai au rang n mais pour un n fixé ^^ sinon la démo n'a aucune raison d'être fait .. 

 Posté par 
numero10re : Défi niveau terminal ---> Suite   09-07-09 à 21:24
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Bon je vais éssayer de procéder d'une autre maniere alors:

Or par hypothese de récurrence on a:

D'où:

Or 2n²+7n+6 est un trinome ayant pour racines -2 et -3/2

D'où 2n²+7n+6=(n+2)(2n+3)

Et on a bien:

Conclusion la propriété est héréditaire ...

Désolé si c'est peu clair j'ai eu la flemme de tout réécrire

Citation :
Sinon une petite remarque, on ne suppose pas la propriété vrai au rang n mais pour un n fixé ^^ sinon la démo n'a aucune raison d'être fait .. 

J'ai regardé dans mon cours nous on marqué bien qu'on admet la propriété vraie au rang n .

Et on démontre qu'elle est hereditaire au rang n+1
 Posté par 
olive_68re : Défi niveau terminal ---> Suite   11-07-09 à 18:08
numero10  >>

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Ouais comme ça c'est nickel 

Ben en fait toute l'année on nous à dit de bien marquer " pour un  fixé"  puisque si la propriété est vraie au rang , faire l'hérédité n'a plus de sens .. enfin voilà comme je l'ai compris ^^

Si quelqu'un passe par ici, si il peut nous aider 

 Posté par 
matovitchre : Défi niveau terminal ---> Suite   11-07-09 à 20:41
Bonjour à tous !

Exercice très classique olive. 

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A.Posons , f est une somme de composées de fonction dérivables sur  elle est donc dérivable sur cet intervalle.

d'où  sur  or  est f dérivable donc continue ainsi on peut en conclure que  pour .

Ainsi 

Posons , f est une somme de composées de fonction dérivables sur  elle est donc dérivable sur cet intervalle.

d'où  sur  or  est f dérivable donc continue ainsi on peut en conclure que  pour .

Ainsi 

D'où .

B.On a bien 1^2 = \fr{1(1+1)(2\times 1+1)}{6} = 1

Or 

D'où par récurrence .

C.On a ln(u_n) = 

En replaçant avec l'encadrement A., .

D'où avec les gendarmes  or  est continue sur ,

donc 

 Posté par 
matovitchre : Défi niveau terminal ---> Suite   11-07-09 à 20:46
Pour ce qui veulent, j'ai posé un exo pour terminale (il y a longtemps) ici :  Exo : Longeur et centre de gravité d'une courbe
 Posté par 
leritale3801reéfi niveau terminal --suite  26-07-09 à 17:23
re Olive pour la a et b no soucis par contre pour la c j'ai pas trop compris ??
 Posté par 
olive_68re : Défi niveau terminal ---> Suite   26-07-09 à 18:41
Re 

leritale >> 
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toujours pas de pistes ?

 Posté par 
leritale3801re:défi niveau terminal --->suite  26-07-09 à 19:44
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pour la c toujours pas ^^

si la suite converge , quand x tend vers + infinie,la suite Un tendra vers un réel 

mais je n'ai pas de piste serieuse ... il faudra certainement encadré puis utilisé le théoreme des gendarmes ... mais je ne vois pas comment?
 Posté par 
olive_68re : Défi niveau terminal ---> Suite   26-07-09 à 19:50
leritale >> 
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Utilise la première question pour encadrer chaques termes de  puis après il va falloir sommer..

(C'est à dire encadre  puis le deuxième terme uniquement de  ... jusqu'au  terme de  puis tu fais la somme du tout, tu obtiens quoi comme encadrement ?

 Posté par 
leritale3801re:défi niveau terminal  26-07-09 à 20:00
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[/blank]y'a un petit truc qui m'embête c'est que ta question on parle que de Un et non Vn ?? pourquoi utilisé Vn??
 Posté par 
olive_68re : Défi niveau terminal ---> Suite   26-07-09 à 20:06
leritale >>
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Parce que d'utiliser le logarithme transforme ici le produit en somme et gràce à l'encadrement trouvé précédement tu peux encadrer ce que je t'ai dis avant (Il faudra poser (quelque chose en )) et donc on cherche la limite de  de là on en déduira la limite de 

 Posté par 
leritale3801re:défi niveau terminae suite  26-07-09 à 20:11
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ba oui y fallait y pensait ^^je trouve doncensuite on utilise le théorème des gendarmes??

 Posté par 
olive_68re : Défi niveau terminal ---> Suite   26-07-09 à 21:19
leritale >>
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Très bien  je crois que c'est bien ça oui 

Trouve la limite avec le théorême des gendarmes puis déduis-en la limite de notre suite de départ 

 Posté par 
leritale3801re:défi niveau terminal---->suite  27-07-09 à 08:59
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d'après le fameux "théorème des gendarmes " on arrive à déduire que 

,on déduite donc par la suite que

  Posté par 
olive_68re : Défi niveau terminal ---> Suite   27-07-09 à 09:28
leritale >>

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Bravo  c'est tout à fait ça 

:smiley