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On note que sup(un,un+1) est décroissante.
Donc elle converge vers sa borne inf qu'on note L1. (on suppose L1 réel, si L1=-infini, c'est fini).
L1>=L2 où L2 est la lim inf de un clairement.
Par l'absurde : si L1>L2
Prenons maintenant u(f(n)) qui converge vers L2.
Necessairement u(f(n)-1) converge vers L1 car le sup converge. De même pour u(f(n)+1).
On en tire L1<= (L1+L2)/2. Absurde !
Donc L1=L2.

Prenons L une va. L>= L1 d'apres la def de lim inf. Et L<=L1 car le sup de uf(n), uf(n)+1 converge vers L1.
un ne possede qu'une valeur d'adhérence, on a fini  : un converge vers sa borne inf.

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Conjectures :
Tant que le nombre est compris entre les deux précédents, les paires de nombres successifs forment un intervalle qui se resserre autour d'un nombre.
Le seul moyen d'échapper à cet intervalle est de choisir un nombre inférieur aux deux précédents. Si la nouvelle phase comporte des nombres compris entre les deux précédents, un nouvel intervalle apparaît et se resserre autour d'un nombre plus petit qu'avec l'intervalle précédent. On s'en échappe de la même façon.
Conclusion : les points de convergence sont de plus en plus petits et si on veut les éviter tous, la suite tendra à se heurter à son minorant. La suite est donc convergente.
Cette suite peut faire penser à un maelstrom, ou à une fuite déspérée.

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considérer la suite

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La suite est décroissante car soit , soit .
Comme elle est minorée, elle converge vers L.

Soit : il existe tel que . Pour on peut écrire:
si alors
si alors (car ).
On a bien montré que pour .

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Il n'est pas exact que la suite soit toujours décroissante.
Par exemple, si tout terme est exactement la moyenne des deux précédents :
si u1 > u2, les termes de rang impair vont en décroissant et ceux de rang pair vont en croissant et la limite de la suite est u2 + (u1-u2)/3
si u1 < u2, les termes de rang impair vont en croissant et ceux de rang pair vont en décroissant et la limite de la suite est u1 = 2*(u2-u1)/3
Je répète ma conjecture :
tant que le terme suivant est compris entre le plus petit des deux termes précédents et leur moyenne, il y a une alternance comme ci-dessus avec rétrécissement vers une limite
le seul moyen d'échapper à ce rétrécissement est de poser un nouveau terme plus petit que le plus petit des deux termes précédents; ce choix rapproche de la valeur minorante
le seul moyen d'arrêter ce rapprochement est de revenir au cas où le terme est plus grand que le plus des deux précédents; il y a un nouveau rétrécissement vers une nouvelle limite inférieure à la limite du rétrécissement précédent
on est donc confronté à un dilemme :
si on cesse l'alternance, on opte pour une limite par rétrécissement
si on continue indéfiniment l'alternance, on finira par arriver à la limite de minoration
la limite est donc inévitable.
Ce problème pourrait être vu comme une allégorie de la Fatalité.

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Bonne idée !

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Belle solution !

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Je ne trouverai pas mieux pour commenter cet exercice !