Bonjour

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Bien sur, non! Alors voilà un contrexemple:

Sur R on prend la topologie dont les ouverts sont les ouverts habituels ET les complémentaires des parties dénombrables. Les singletons ne sont pas ouverts, donc ce n'est pas la topologie discrète. Comme on a les ouverts habituels, c'est séparé. On voit facilement qu'une suite est convergente si et seulement si elle est stationnaire... comme pour la discrète.

A vérifier, c'est un arrangement à mon avis plus cmpréhensible que ce que l'on trouve d'habitude avec les ordinaux.

Salut

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Oui oui, ça marche! Bien vu.

Salut Ayoub

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Tu avais autre chose?

Salut

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En effet: on a vu en TD qu'il y avait équivalence entre la convergence faible et forte des suites dans l¹. (théorème de Schur)

Bonsoir Ayoub et Camélia

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Citation :
Sur R on prend la topologie dont les ouverts sont les ouverts habituels ET les complémentaires des parties dénombrables

Mézalor en ajoutant les AB et les AB, où A est un ouvert "habituel" et B une partie co-dénombrable ?

Mouais enfin surtout les AB

blang >> J'vois pas où tu veux en venir...

> blang

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Oui, bien sur, je voulais parler de la topologie engendrée... J'ai toujours examiné le phénomène en prenant uniquement les parties co-dénombrables; les seules suites convergentes sont les stationnaires. Le problème est que ce n'est pas séparé. En rajoutant les ouverts usuels, j'assure la séparation. Le rique était qu'à force de rajouter, je me retrouve avec la discrète. Je ne crois pas que ce soit le cas...

Camélia>

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Bon, ça doit être bête mais je ne parviens pas à prouver que les
AB avec A ouvert "habituel" et B co-dénombrable,forment une topologie   Il doit y avoir un truc de base qui m'échappe.

blang >>

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C'est pas important ça: on considère seulement la topologie engendrée par les trucs de la forme A et de la forme B (en reprenant tes notations). Elle existe (c'est l'intersection de toutes les topologies la contenant). Le seul truc qu'il faut vérifier c'est qu'elle est strictement moins fine que la topologie discrète. Camélia n'a pas fait la vérification, mais on est moralement convaincu que c'est le cas.

Bon, allons-y!! blang a raison, mais moi aussi! (enfin, je crois!)

Je mets dans le chaudron les ouverts habituels et les codénombrables.

Une réunion quelconque! Vu que les uns et les autres sont stables par réunion, il faut donc rajouter les réunions d'un ouvert normal et d'un codénombrable.

Intersections finies: Les U sont normaux les C codénombrables. C'est clair qu'il faut rajouter les intersection type et donc leurs réunions...

Et là je crois vraiment avoir décrit la topologie...

En particulier y est!

Je continue à prétendre qu'un singleton ne peut pas s'écrire comme ça!

Oublié de blanker! mais maintenant ce n'est plus très grave...