Bonsoir,

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(1;2;2)
(2;1;2)
(2;2;1)

Il en manque sûrement ^^

Skops ->

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C'est bien ça, mais maintenant démontre-moi que ce sont les seuls (ou qu'il y en a d'autres )

Bonsoir

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x^3+y^3+z^3+x^2+y^2+z^2+x+y+z=31

donc:

non??

monrow ->

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Rien ne te dit que x, y et z sont distincts de 1 (nécessaire pour écrire ton égalité)

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Ca marche pas de l'admettre

Salut,

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Alors je developpe (x+y+z)^3 = x^3 + y^3 + z^3 + 3x^2(y+z) + 3y^2(x+z) + 3z^2(x+y) + 6xyz.

J'obtiens alors 5^3 = 17 + 3x^2(5-x) + 3y^2(5-y) + 3z^2(5-z) + 6xyz

Soit 125 = 17 + 15*(x^2 + y^2 + z^2) -3(x^3 + y^3 + z^3) +6xyz

D'ou 108 = 15*9 - 3*17 +6xyz   d'ou je tire xyz = 4.

Un test rapide montre alors que seule la solution "circulaire" 2 2 et 1 est solution.

CQFD.

x,y et z sont-il forcément des réels?

Je retire, c'est du n'importe quoi.

minkus ->

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x, y et z ne sont pas nécessairement entiers.
Tu es sur la bonne piste
Continue et tu devrais y arriver

salut juli pourai tu maprendre coment on reconai_s des carret parfai

Alors, je donne la solution pour ceux que ça pourrait intéresser


En élevant la première équation au carré, on trouve d'où .
En élevant la première équation au cube, on obtient soit d'où .

Ensuite, on considère P le polynôme unitaire de degré 3 admettant x, y et z comme racines.
On a alors .
En remplaçant avec les valeurs trouvées précédemment, .
1 est une racine évidente, puis on reconnait une identité remarquable, d'où on tire que .

On en déduit que les solutions sont toutes les permutations de (1,2,2).


Fractal