Defi: Théoreme de Wilson

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Defi: Théoreme de Wilson
Posté par 
Cauchy  28-02-08 à 14:49
Bonjour,

 je vous propose une jolie démonstration du théorème de Wilson, il faut connaîre les théorèmes de Sylow par contre(il y a bien sûr des démonstrations plus élémentaires de ce théorème).

 Soit p un nombre premier, montrer que .

 Pour cela, dénombrer les p-Sylow de .
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Camélia re : Defi: Théoreme de Wilson  28-02-08 à 14:54
Bonjour Cauchy

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Pas gentil de les envoyer vers les grands théorèmes! Si p est impair en groupant les paires d'inverses on a immédiatement le résultat!
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Cauchyre : Defi: Théoreme de Wilson  28-02-08 à 14:56
Bonjour,

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oui je sais bien, mais je trouve ça joli quand même bien que c'est vrai que c'est inutile d'utiliser ça 
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Camélia re : Defi: Théoreme de Wilson  28-02-08 à 15:00
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Je m'en doutais... mais je ne sais pas me taire! 
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Cauchyre : Defi: Théoreme de Wilson  28-02-08 à 15:06
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 Au moins, ceux qui veulent l'autre démo l'ont dans les blanqués mais je suppose que ceux qui connaissent Sylow doivent connaitre l'autre démo 
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1 Schumi 1re : Defi: Théoreme de Wilson  28-02-08 à 16:37
Salut tout le monde, 

Cauchy >>

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Quel rapport avec les Sylow? Ou pour m'exprimer plus clairement: UN NAIN DIX!!! 

Ayoub.
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Cauchyre : Defi: Théoreme de Wilson  28-02-08 à 17:52
Salut Ayoub,

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Il faut utiliser le théorème de Sylow qui nous donne une information sur leur nombre.
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Nightmarere : Defi: Théoreme de Wilson  28-02-08 à 19:53
Salut 

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Une preuve sans Sylow :

Si p est premier, Z/pZ est un corps, tous les éléments non nuls sont inversibles.

p-1 est sa propre inverse modulo p

Il suffit de montrer qu'aucun éléments dans [|1,p-1[| ont les même inverses.

Pas difficile, supposons que k et k' aient la même inverse q.

On a alors kq=k'q et comme q est inversible k=k'.

Ainsi (p-1)!=p-1=-1

Je cherche une preuve avec sylow.

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Nightmarere : Defi: Théoreme de Wilson  28-02-08 à 19:57
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 Une idée :

On montre qu'il y a exactement (p-2)! p-Sylows dans le groupe des permutations et on conclu par le théorème de de Sylow.

Je cherche la preuve du nombre de p-Sylows.
  Posté par 
Cauchyre : Defi: Théoreme de Wilson  28-02-08 à 20:10
Nightmare-->
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Bonne idée.