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on va supposer f(0)>0 et f(1)<0 sinon le résultat est clair.
On prends x0 la borne sup de pour tout y de [0,x], f(y)>=0. (qui existe : ensemble non vide + borné).
On prends xn et yn qui convergent de x0 de la facon suivante :
f(xn)>=0 et xn<=x0 (si x0=0, on prends xn=x0, sinon xn=x0-1/n par exemple).
f(yn)<=0 et yn>=x0. (si f(x0)<=0 alors on prends yn=x0 sinon f(x0)>0 et l'existence de yn découle des propriétés de la borne sup.)

De la on a d'apres f+g croissante :
f(xn)+g(xn)<=f(x0)+g(x0)<=f(yn)+g(yn).
Or f(xn)>=0 et f(yn)<=0 donc :
g(xn)<=f(x0)+g(x0)<=g(yn). On fait tendre n vers l'infini et la continuité de g donne le résultat suivant :
f(x0)+g(x0)=g(x0) . C'est fini.


(C'est un peu moche mais je n'ai pas trouvé de rédaction jolie avec le TVI.)