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Défi : Un lien entre partie fractionnaire et tangente !

Posté par
djstarmix 09-09-09 à 17:54

Bonjour !

Je viens de faire un rapprochement entre la fonction partie fractionnaire et la fonction tangente inverse de tangente. J'ai par la suite émis cette hypothèse :

On note {x}, la partie fractionnaire de x.
On pose = (2x - ) / (2).

Ensuite on émet l'hypothèse suivante : Arctan(tan(x)) = {} - || / (2).

Démontrer que cette hypothèse est vérifiée, ou qu'elle est fausse

Posté par re : Défi : Un lien entre partie fractionnaire et tangente ! 09-09-09 à 17:57

Pour tout x de ]-/2 + k ; /2 + k[ évidemment !
Et x est en radians !

Posté par re : Défi : Un lien entre partie fractionnaire et tangente ! 09-09-09 à 22:39

Bonsoir djstarmix,

Si x est dans $]-\pi/2 + k\pi , \pi/2 + k\pi[$ alors $x-k\pi$ est dans $]-\pi/2, \pi/2 [$ .
Comme $\tan( x)=\tan(x-k\pi)$ on en déduit:
$\arctan(\tan(x))=x-k\pi$ .
Il reste à écrire $3$ k< \frac{x+\pi/2}{\pi}<k+1$ pour obtenir $4$ k=[\frac x{\pi}+\frac12]$ d'où $4$\arctan(\tan(x))=x-[\frac x{\pi}+\frac12]\pi$ .