Niveau enseignement

Définition des puissances en 4e

Posté par
Tranchedepain 12-08-22 à 14:03

Bonjour,

Voilà une idée me taraude depuis quelques temps et j'aimerais avoir l'avis d'autres personnes.

J'aimerais cette année avec mes 4e définir la puissance d'une manière un peu inhabituelle.

Au lieu de définir, comme on le fait traditionnellement aⁿ comme étant égal à a a ... a, j'aimerais le définir comme étant égal à 1 a ... a.

Je trouve qu'il y a des avantages à utiliser cette définition pour des élèves de collège :

Premièrement, il n'y a plus besoin de définir a⁰ comme étant un cas particulier. Il devient plus naturel qu'il soit égal à 1.
De même, c'est toujours un peu délicat d'expliquer que a¹ est un produit de 1 facteur dans la mesure où le signe n'apparait pas. Avec cette définition on a directement a¹ = 1 a = a.
Autre avantage, lorsque l'on veut définir les puissances d'exposant négatif, on peut alors utiliser une définition similaire : a^-n = 1 ÷ a ÷ ... ÷ a qui permet d'expliquer pourquoi on a a^-n = 1 / aⁿ.
Enfin, dans la plupart des problèmes impliquant des puissances (découpages successifs, multiplication d'un objet, fractales...), la quantité de départ lorsque l'on n'a pas encore multiplié est 1, ce qui rend cette définition plus naturelle.

Mais elle a cependant des inconvénients.

Le premier que je vois, c'est d'apprendre aux élèves une définition qui n'est pas la définition usuelle, ce qui risque d'amener de la confusion si un autre prof leur donne la définition usuelle.
Le deuxième est d'ordre m_athématique. En effet, avec cette définition, le cas de 0⁰ ne pose plus de problème puisqu'alors 0⁰, c'est 1 multiplié par 0, 0 fois, donc c'est égal à 1. Or justement cela pourrait amener les élèves à penser que ce cas ne pose aucun problème et à ne pas comprendre pourquoi certaines calculatrices affiche une erreur.

J'aimerais donc savoir ce que vous pensez de cette initiative et si je peux m'y risquer.

En vous remerciant

Posté par re : Définition des puissances en 4e 12-08-22 à 15:00

salut

l'ensemble est cohérent donc pourquoi pas ...

cependant il faudra bien à un moment (avant de se quitter) revenir sur ce 1 * qui est (ou devient) inutile car multilier par 1 c'est ne rien faire ...

de toute façon le pb général c'est que l'on parle de produit ou de somme il faut au minimum deux objets à multiplier ...

on ne multiplie pas 2 !!
on multiplie 2 par quelque chose ou on multiplie quelque chose par 2 ...

donc ta proposition permet de faire disparaitre l'exposant 1 ok : on multiplie 1 par a une fois
mais de toute manière il reste le pb de l'exposant 0 : ce n'est pas un cas particulier mais une convention : "on décide de poser ..." et ce qu'on pose est cohérent avec la généralisation et l'introduction de l'exponentielle qui généralise le tout ...

plus précisément les fonctions $x \mapsto x^x $ et $ x \mapsto a^x$ (x > 0 et a > 0) tend vers 1 quand x tend vers 0 (passer par l'exponentielle introduit un logarithme et nécessite a > 0 ou x > 0)

mais c'est cohérent avec la convention :
une somme de 0 termes est nulle
un produit de 0 terme est 1

...

Posté par re : Définition des puissances en 4e 13-08-22 à 12:20

Salut,

Pour $n$ et $p$ deux entiers supérieurs ou égals à 2. On peut, à partir de la définition, montrer que $a^n\times a^p=a^{n+p}$

On peut maintenant déduire que $a^0\times a^n=a^{0+n}=a^n$ donc $a^0=1$

$a^{-n}\times a^n=a^{n+(-n)}=a^0=1$ donc $a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$

$a\times a=a^2=a^{1+1}=a^1\times a^1$ donc $a^1=a$

Posté par re : Définition des puissances en 4e 14-08-22 à 19:50

Bonsoir Tranchedepain.
Je l'ai fait quand j'étais en collège.
Autant dire que je trouve que c'est bien.
Toutefois un inspecteur me l'a reproché sur le thème : vos élèves rencontreront des fonctions telles que

$\lim_{ a} f=0\ ; \lim_a g=0 \text{ et }\lim_a f^g\neq 1.$

J'étais débutant et j'ai obtempéré.

Posté par re : Définition des puissances en 4e 14-08-22 à 20:26

Bonjour,

quand j'étais en 4ème (ça ne date pas d'hier !), j'ai appris les puissances comme tu le proposes (avec 1 * ...), et ça m'a semblé très facile.
Par la suite, je n'ai pas eu de difficultés particulières.
Aujourd'hui, face à des élèves qui ont du mal avec les puissances, il m'arrive de les présenter de cette façon, et ça les aide..
Mais, bien sûr, ça n'est qu'un témoignage..

Posté par re : Définition des puissances en 4e 15-08-22 à 01:28

Pour moi Je ferais le lien avec l'opération de multiplication de deux puissances. En cas d'oubli , il pourront toujours retrouver les résultats.

Définir $a^0=1$ par rapport à ta définition n'a rien de naturel pour moi (c'est mon point de vue et je n'ai pas d'expérience dans l'enseignement).  Difficile de se faire une image de ce qu'est   $a^0$ .

Par contre définir $a^0= 1$ pour que ce soit cohérent avec la règle naturel  du produit de deux puissances me parait plus efficace.

Je présenterai les choses comme ceci en préambule :

Prédéfinition

Pour $n\ge 2$ , on va poser $a^n :\underbrace{a\times\cdots \times a}_{\text{n fois}}$

On peut naturellement déduire à partir de la définition que $m,p\ge 2$ que $a^m\times a^p=a^{m+p}$

Après tu peux leur demander ce que représente   $a^0; a^1;a^{-n}$ pour que ce soit cohérent avec la régle de multiplication. Et s'ils ne trouvent pas, tu leurs montre au tableau.

Une fois terminer, tu envoies le cours, c'est à dire la définition exacte et les propriétés.

Posté par re : Définition des puissances en 4e 15-08-22 à 12:50

Bonjour,

Je vous remercie pour vos réponses. Je pense tout de même que je vais tenter cette définition et voir si elle peut avoir un intérêt pédagogique. En faisant des recherches sur internet, j'ai vu d'autres personnes l'utiliser et dans l'absolu elle n'est pas fausse.

Le seul problème c'est le cas de 0⁰, en particulier dans le cas dont tu parles Verdurin. Mais en y réfléchissant, aujourd'hui il n'y a pas de consensus sur cette question, et l'une des solutions utilisée pour résoudre ce problème est d'utiliser des conventions différentes selon le domaine dans lequel on travaille. Je pense que ce cas ne pose pas de problème à partir du moment où je précise que la définition que j'ai donnée est la définition pour des exposants entiers. Car de toute façon, cette définition n'est plus valable pour des exposants non entiers. Et à partir du moment où l'on utilise une autre définition, il n'est pas illogique que de nouveaux problèmes apparaissent. Le problème de la calculatrice, c'est seulement que quand on écrit 0⁰, elle ne sait pas quelle est la définition que l'on souhaite utiliser.

Posté par re : Définition des puissances en 4e 23-08-22 à 09:42

Bonjour,
J'utilise la même définition ( $a^n=1\times a\times\cdots\times a$ ) dans mes classes (et d'ailleurs en classe de 1ère cela permet d'illustrer les suites définies par récurrence ; et en seconde cela permet de faire de l'algorithme avec des boucles POUR) et je trouve cela très efficace.

Concernant la problématique du 0 exposant 0 : en termes de limite c'est bien sûr une forme indéterminée ; par contre du point de vue des polynômes la convention est que cela fait bien 1 : ainsi l'écriture suivante :

$\forall x\in\R, P(x)=\sum_{k=0}^{n}a_kx^k$

n'a de sens que si l'on prend cette convention...