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Démonstration

Posté par
zartos 27-10-19 à 21:30

Salut,

je dois prouver que pour tout entiers naturels impairs   x et y,

x^2 + y^2 ne peut être un carré parfait

J'ai procédé comme suit :

on suppose que x = 2p+1 et y = 2k+1 avec p,k \in \N

alors on a x^2 + y^2 = (2p+1)^2 + (2k+1)^2

= ( 2p +1 + 2k + 1)^2 - 2( (2p+1)(2k+1) )

= 4( (p+k) + 2 )^2 - 2( (2p+1)(2k+1) )

ce qui ne peut être un carré parfait. Mais je ne suis pas totalement convaincu, je suis sûr qu'il y a une meilleure méthode:

Merci d'avance

Posté par
matheuxmatoure : Démonstration 27-10-19 à 21:33

bonsoir

et pourquoi cela ne peut pas être un carré parfait ?...

Posté par
matheuxmatoure : Démonstration 27-10-19 à 21:34

avec tes hypothèses, si x²+y²=z²
quelle est la parité de z² ?

Posté par
zartosre : Démonstration 27-10-19 à 21:58

matheuxmatou @ 27-10-2019 à 21:34

avec tes hypothèses, si x²+y²=z²
quelle est la parité de z² ?


Paire car la somme de deux carrés parfaits est toujours paire non ?

Posté par
matheuxmatoure : Démonstration 27-10-19 à 22:02

justification fausse !

3² + 4² est impair...

mais là ... ?

Posté par
matheuxmatoure : Démonstration 27-10-19 à 22:04

x est impair, donc x² est ...?
y est impair donc y² est ...?

et donc x²+y² est ...?

Posté par
zartosre : Démonstration 27-10-19 à 22:18

Ah oui donc x2+y2 est paire parce que c'est la somme de deux entiers impairs.

Mais comment cela prouve qu'il ne s'agit pas d'un carré parfait ?

Posté par
matheuxmatoure : Démonstration 27-10-19 à 22:20

donc si x²+y²=z² avec x et y impair,

z² est pair

donc z est ...?

donc z = ...

remplace dans

(2p+1)²+(2q+1)² = z² et tu verras

Posté par
zartosre : Démonstration 27-10-19 à 22:40

matheuxmatou @ 27-10-2019 à 22:20


donc z est ...?

paire

matheuxmatou @ 27-10-2019 à 22:20


donc z = ...

z = 2q avec q \in \N

donc  x^2 + y^2 = 4( (p+k) + 2 )^2 - 2( (2p+1)(2k+1) )

                               = 2 * [   2( (p+k) + 2 )^2 - (4pk + 2(p+k) + 1  ]

alors q = 2( (p+k) + 2 )^2 - (4pk + 2(p+k) + 1  

Mais je ne vois pas comment cela prouve qu'il ne s'agit pas d'un carré parfait.

Posté par
matheuxmatoure : Démonstration 27-10-19 à 23:01

que c'est compliqué !!!!

développe

(2p+1)² + (2k+1)² = (2q)²

et regroupe astucieusement et tu y verras une impossibilité

Posté par
claudiopanare : Démonstration 28-10-19 à 16:07

Bonjour,
On peut aussi étudier les congruences modulo  4  de x²+y² d'une part et de z² d'autre part.

Posté par
zartosre : Démonstration 28-10-19 à 20:13

matheuxmatou @ 27-10-2019 à 23:01

que c'est compliqué !!!!

développe

(2p+1)² + (2k+1)² = (2q)²

et regroupe astucieusement et tu y verras une impossibilité


(2p+1)² + (2k+1)² = (2q)² \\ \\ \leftrightarrow 4p^2 + 4p + 4k^2 + 4k + 2 = 4q^2 \\ \\ \leftrightarrow 2(2p^2 +2p + 2k^2 + 2k +1 ) = 2*2q^2 \\ \\ \leftrightarrow q^2 = p^2 +p + k^2 + k + 1/2

ce qui ne peut être un carré parfait. C'est ça donc la justification ?

Posté par
zartosre : Démonstration 28-10-19 à 20:14

claudiopana @ 28-10-2019 à 16:07

Bonjour,
On peut aussi étudier les congruences modulo  4  de x²+y² d'une part et de z² d'autre part.


Pourquoi modulo 4 ?

Posté par
claudiopanare : Démonstration 29-10-19 à 09:11

Bonjour,
Parce que c'est celle qui convient pour montrer que d'un côté le résultat est 2,  de l'autre  0.

Posté par
matheuxmatoure : Démonstration 29-10-19 à 09:32

(2p+1)² + (2k+1)² = (2q)² \\ \\ \Leftrightarrow \\ \\ 4(p^2 + p + k^2 + k - q^2) = -2 \\ \\

donc 2 est un multiple de 4 ...?

Posté par
zartosre : Démonstration 29-10-19 à 13:27

matheuxmatou @ 29-10-2019 à 09:32

(2p+1)² + (2k+1)² = (2q)² \\ \\ \Leftrightarrow \\ \\ 4(p^2 + p + k^2 + k - q^2) = -2 \\ \\

donc 2 est un multiple de 4 ...?


Donc on a affaire à une absurdité d'où 2q2 ne peut être un carré parfait ?

Posté par
matheuxmatoure : Démonstration 29-10-19 à 18:30



déjà c'est pas 2q² mais (2q)² ... c'est pas pareil !

et l'absurdité prouve que l'hypothèse de départ est fausse, donc que la somme des carrés de deux nombres impairs ne peut pas être le carré d'un nombre pair...

essaye de comprendre le raisonnement

Posté par
carpediemre : Démonstration 29-10-19 à 18:37

zartos @ 27-10-2019 à 21:30

x^2 + y^2 = (2p+1)^2 + (2k+1)^2

= ( 2p +1 + 2k + 1)^2 - 2( (2p+1)(2k+1) )

= 4( (p+k) + 2 )^2 - 2( (2p+1)(2k+1) )

ce qui ne peut être un carré parfait. Mais je ne suis pas totalement convaincu, je suis sûr qu'il y a une meilleure méthode:
faut dire que le seul cas où il ne faut pas utiliser de "subtilité" c'est celui-là !!!

et ce qu'un simple calcul mental montre immédiatement ...

ce n'est donc pas subtil ... puisqu'il suffisait de développer comme un bourrin et seulement ensuite se mettre à réfléchir ...

Posté par
zartosre : Démonstration 29-10-19 à 20:11

matheuxmatou @ 29-10-2019 à 18:30



déjà c'est pas 2q² mais (2q)² ... c'est pas pareil !


J'ai oublié les parenthèses je m'excuse

matheuxmatou @ 29-10-2019 à 18:30


et l'absurdité prouve que l'hypothèse de départ est fausse, donc que la somme des carrés de deux nombres impairs ne peut pas être le carré d'un nombre pair...


Et oui c'est là où je voulais en venir.

Merci à tous pour votre temps ☺

Posté par
matheuxmatoure : Démonstration 30-10-19 à 01:01

pas de quoi


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