Niveau exercices

demonstration

Posté par
flight 16-09-22 à 17:31

Bonjour

pourriez vous demontrer que  :

(-1)^k+1.k²   = (-3-4j)
les bornes de la premiere somme vont de k = 1 à  k=n
les bornes de la seconde somme vont de j = 0   à   j = (n/2)-1
et avec n pair .

Posté par re : demonstration 16-09-22 à 19:16

Bonjour flight,

ta formule est juste mais il y a une formule plus simple valable pour tout entiernaturel $n$ (pair ou impair) :

$\sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}k^2=(-1)^{n-1}\dfrac{n(n+1)}2$ .

Elle s'écrit encore : $\sum_{k=1}^n(-1)^{n-k}k^2=\dfrac{n(n+1)}2$ .

Posté par re : demonstration 18-09-22 à 20:49

$\begin{array}{lcl} \\ \sum_{k=1}^n (-1)^kk^2 &=& \sum_{k=1, k \text{ pair}}^n k^2 - \sum_{k=1, k \text{ impair}}^n k^2\\ \\ &=& 4\sum_{k=1}^{E(n/2)}k^2 - \sum_{k=0}^{E((n-1)/2)}(4k^2 + 4k + 1)\\ \\ &=& 4(T_2(E(n/2)) - T_2(E((n-1)/2))) - 4T_1(E((n-1)/2))) - (E((n-1)/2)+1) \\ \end{array}$

Quand n est pair, $E((n-1)/2) = n/2-1$ , donc la somme vaudra $4(n/2)^2 - (n/2-1)n - n/2 = n^2/2 + n/2 = n(n+1)/2$ , ce qui coincide avec la formule de jandri.

Quand n est impair, $E((n-1)/2) = (n-1)/2 = E(n/2)$ , donc l'opposé de la somme vaudra $(n-1)(n+1)/2 + (n+1)/2 = n(n+1)/2$ ce qui coincide aussi avec la formule de jandri.

Enfin, pour revenir à celle de flight,

$\sum_{j=0}^{p} (-3-4j) = -3(p+1) - 4T_1(p) = -3(p+1) - 2(p+1)p = -(p+1)(2p + 3) = -(p+1)(2(p+1)+1)$
Quand $n$ est pair et $p+1 = n/2$ , on trouve $-n/2(n-2+3) = -n(n+1)/2$ et ça coincide avec le théorème de jandri-Ulmière