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Notons s=x+y+z, d=xy+yz+zx et p=xyz
En multipliant la contrainte par (1+x)(1+y)(1+z) on a:
d+2s+3=p+d+s+1
d'où : p=s+2
Mais :
p=s+2 = (x+1) + (y+1) + (z+1) - 1 9/(1/(x+1) + 1/(y+1) + 1/(z+1)) - 1 = 8 (inégalité des moyennes)

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En posant a=x+1, b=y+1, c=z+1 cela revient à démontrer que

si 1/a+1/b+1/c=1, alors a+b+c 9

or si l'on sait que la moyenne harmonique 3/(1/a+1/b+1/c) est inférieure à la moyenne arithmétique (a+b+c)/3, c'est immédiat.