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Démonstration: D dense dans R

Posté par
Aerobi 25-05-10 à 01:19

Bonjour!
Je me suis aperçu que dans mon cours il me manquait une démonstration. J'aimerais savoir si quelqu'un pouvait me la faire car elle m'intéresse pour mieux comprendre mon cours! Je vous remercie d'avance!
La démonstration consiste à montrer que  \textrm l'ensemble\mathbb{D}\textrm des nombres decimaux est dense dans \mathbb{R}
Je pense qu'il faut partir du fait que tout réel x est ainsi la limite d'au moins une suite de décimaux. Mais je ne vois pas comment procéder de manière précise, méthodique et rapide!
Je vous en remercie par avance!

Posté par
Camélia Correcteurre : Démonstration: D dense dans R 25-05-10 à 14:01

Bonjour

Tu connais certainement le développement décimal d'un nombre réel. Il fournit une suite de décimaux qui tend vers le dit réel!

Posté par
ledimutre : Démonstration: D dense dans R 25-05-10 à 14:48

Bonjour,

Soit 3$ x \in \mathbb{R}.
On pose, pour tout 3$ n \in \mathbb{N}, 3$ x_n := \frac{E(10^n x)}{10^n}, où 3$ E désigne la fonction partie entière.
Par définition de la partie entière on a :
3$ \forall n \in \mathbb{N}, 10^n x \le E(10^n x) \le 10^n x + 1
On divise tous les membres par 3$ 10^n, et on conclut par le théorème des gendarmes que :
3$ \lim_{n\to\infty} x_n = x. (car 3$ \lim_{n\to\infty} \frac{1}{10^n} = 0)
De plus par construction, 3$ x_n \in \mathbb{D} pour tout 3$ n \in \mathbb{N}.
Cela est valable pour 3$ x \in \mathbb{R} quelconque, donc tout réel est limite d'une suite de nombre décimaux, i.e. 3$ \mathbb{D} est dense dans 3$ \mathbb{R}.

La suite 3$ (x_n) que j'ai introduite n'est autre que la suite des troncatures décimales de 3$ x.
Voilà !
Sauf erreur grossière...


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