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démonstration et ln

Posté par cloch8 (invité) 30-03-06 à 15:19

Voici des questions qui prennent bien la tête, j'ai réussi a démontrer deux propriétés de l'exercice, mais il m'en reste encore deux autres.

1) Démontrer que, quels que soient les deux réels a et b strictement positifs, on a (a+b)/2 (ab)

2) La courbe C est la courbe représentative de la fonction ln. On considère les points A et B de C d'abscisses respectives a et b. On désigne par D le milieu de [AB] et par E le point de C d'abscisse (a+b)/2. Démontrer que le point E est au-dessus du point D quels que soient a et b. On traduit cette propriété en disant que la courbe C est convexe.

Je ne trouve pas d'inspiration pour la démonstration, j'ai essayer plusieurs choses, mais les résultats ne sont pas cohérents. Je pense aussi qu'il faut utiliser la propriété démontrée en 1) pour répondre à la question 2), mais de quelle manière, je ne sais pas.
Merci beaucoup à ceux qui vont chercher à m'aider!

Posté par ptitjean (invité)re : démonstration et ln 30-03-06 à 15:25

salut,

pour la question 1, essaie de repérer une identité remarquable de la forme (x+y)² et tu devrais pouvoir conclure...

Ptitjean

Posté par cloch8 (invité)re : démonstration et ln 30-03-06 à 15:57

Euh, j'ai cherché mais je n'y arrive pas, il faut bien que je partes sur une égalité dont je suis sur au départ, mais laquel?
Et puis la question 2), si quelqu'un pourrait m'aider...
merci!

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : démonstration et ln 30-03-06 à 16:10

Bonjour,

Pour la 1), étudie le signe de la différence entre les deux membres. C'est une identité remarquable.

Nicolas

Posté par
_Estelle_re : démonstration et ln 30-03-06 à 16:17

V(ab) < (a+b)/2

ab < [ (a+b)/2 ]²

ab < (a²+2ab+b²) / 4

4ab < a²+2ab+b²

0 < a²-2ab+b²

0 < (a-b)² ce qui est toujours vrai

Donc V(ab) < (a+b)/2

Estelle

Posté par cloch8 (invité)re : démonstration et ln 30-03-06 à 16:20

Je trouve (a - b)2/2 0.
J'ai le droit de partir de cette égalité?
Ou c'est peut-être mieux de le metre sous la forme [(a - b)/2]2 0.
merci de répondre à ma dernière question!

Posté par ptitjean (invité)re : démonstration et ln 30-03-06 à 16:22

on a aussi directement
\rm (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 > 0 toujours vrai
\rm (\sqrt{a})^2+(\sqrt{b})^2-2\sqrt{ab} > 0
\rm a^2+b^2 > 2\sqrt{ab}
\rm \frac{a^2+b^2}{2} > \sqrt{ab}

CQFD

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : démonstration et ln 30-03-06 à 16:24

Tu n'es pas obligé de partir d'une inégalité.
Tu étudies le signe de la différence :
3$\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab} = \frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{2}\ge 0
Donc 3$\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}

Posté par cloch8 (invité)re : démonstration et ln 30-03-06 à 16:24

a oui, c'est plus simple. Et puis pour la question 2)?

Posté par ptitjean (invité)re : démonstration et ln 30-03-06 à 16:26

oups erreur !!

(\sqrt{a})^2=a et non a²

Posté par cloch8 (invité)re : démonstration et ln 30-03-06 à 16:30

euh désolé de me répéter, mais pour la question2) je fait comment?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : démonstration et ln 30-03-06 à 16:53

Tu réfléchis.
Quelles sont les coordonnées de A, B, D et E ?

Posté par ptitjean (invité)re : démonstration et ln 30-03-06 à 17:02

a priori ca devrait marcher quel que soit les coordonnées des points

Une piste
Chercher l'équation de la droite (AB) en fonction de a et b, elle sera de la forme y=mx+k

Puis chercher le signe de ln(x)-mx-k
Avec a<b
Tu devrais trouver que le signe est négatif pour x<a, positif pour a<x<b, puis de nouveau négatif ensuite.
Tu en déduiras que la droite est en-dessous sur [a,b] et tu pourras conclure...

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : démonstration et ln 30-03-06 à 17:05

ptitjean, ma solution me semblait un chouia plus simple.
Les coordonnées de A, B, D et E s'écrivent en 10 secondes.
Il suffit ensuite de comparer les ordonnées de D et E.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : démonstration et ln 30-03-06 à 17:05

(en fonction de a et b, bien sûr)

Posté par ptitjean (invité)re : démonstration et ln 30-03-06 à 17:08

héhé effectivement !!
ca se fait en 10s
bien vu

mais j'aime ce qui est compliqué

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : démonstration et ln 30-03-06 à 17:11

Pour ma part (et je ne parle pas de cet exercice), il m'arrive d'apprécier les calculs un peu bourrins.

Posté par cloch8 (invité)re : démonstration et ln 30-03-06 à 20:05

D a pour coordonées (a+b)/2, non? sa prouve rien dans ce cas... je continue a chercher.

Posté par cloch8 (invité)re : démonstration et ln 30-03-06 à 20:11

non mais je suis trop nul, j'arrive pas à trouver les coordonnées de D. Il faut que j'aille chercher dans quel cours de collège?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : démonstration et ln 31-03-06 à 04:03

3$A est sur la courbe et a pour abscisse 3$a donc 3$A\left|{a\\\ln a}
3$B est sur la courbe et a pour abscisse 3$b donc 3$B\left|{b\\\ln b}
3$D est le milieu de 3$[AB] donc 3$D\left|{\frac{a+b}{2}\\\frac{\ln a+\ln b}{2}}
3$E est sur la courbe et a pour abscisse 3$\frac{a+b}{2} donc 3$E\left|{\frac{a+b}{2}\\\ln\frac{a+b}{2}}

3$D et 3$E ont même abscisse. Il faut montrer que 3$E est au-dessus de 3$D, c'est-à-dire que :
3$\ln\frac{a+b}{2}\ge\frac{\ln a+\ln b}{2}

A toi de faire maintenant le lien avec la question précédente.


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