Niveau autre

demonstration formule trigo

Posté par bermon (invité) 17-10-04 à 22:42

Bonjour,
Je recherche, car je l'ai oubliée, pour l'expliquer à l'un de mes petits enfants, la méthode de démonstration de cos(a+b)=cosa.cosb-sina.sinb
Merci de me remettre sur la piste.
Ca me ramène 50 ans en arrière!

Posté par re : demonstration formule trigo 17-10-04 à 23:01

Bonjour bermon,

ici :

Salut

Posté par re : demonstration formule trigo 17-10-04 à 23:23

Bonjour

Autre maniére de faire :

Lemme : $e^{ix}=cos(x)+isin(x)$ et $e^{-ix}=cos(x)-isin(x)$

Démonstration :

La formule d'euler nous donne :
$2cos(x+y)=e^{i(x+y)}+e^{-i(x+y)}$

$e^{i(x+y)}+e^{-i(x+y)}=e^{ix+i=}+e^{-ix-iy}=e^{ix}e^{iy}+e^{-ix}e^{-iy}$

on en déduit de la lemme le corollaire :

$e^{ix}e^{iy}+e^{-ix}e^{-iy}=(cos(x)+isin(x))(cos(y)+isin(y))+(cos(x)-isin(x))(cos(y)-isin(y))$

En dévellopant :
$(cos(x)+isin(x))(cos(y)+isin(y))+(cos(x)-isin(x))(cos(y)-isin(y))$
$=cos(x).cos(y)-sin(x).sin(y)+(cos(x).sin(y)+sin(x).cos(y))i+cos(x).cos(y)-sin(x).sin(y)-(cos(x).sin(y)+sin(x).cos(y))i$
$=2cos(x).cos(y)-2sin(x).sin(y)$

Donc :
$2cos(x+y)=2cos(x).cos(y)-2sin(x).sin(y)$

D'ou au final :
$cos(x+y)=cos(x).cos(y)-sin(x).sin(y)$