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Niveau terminale
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demonstration par recurrence

Posté par
Chamsi68
28-11-16 à 23:21

Aidez moi s'il vous plait a demontrer ceci, par recurrence.
(Pour tout entier naturel n superieur ou egale a 3)
(n+1)^n\leq n^n^+^1

Posté par
Zormuche
re : demonstration par recurrence 29-11-16 à 00:29

Salut

Tu sais faire un raisonnement par récurrence en terminale, non?

-On pose Pn : "   "
-Initialisation : on vérifie que P0 vrai (ici on fait pour P3 car n3)

-Hérédité : On suppose que Pn vrai, puis on démontre que Pn+1 vrai si Pn vrai

-Conclusion

Posté par
Chamsi68
re : demonstration par recurrence 29-11-16 à 02:33

Pourriez vous donc me proposer une methode pour demontrer que p(n+1) est vrai ?

Posté par
Chamsi68
re : demonstration par recurrence 29-11-16 à 03:06

Ce n'est pas une question de cours mais plutot une question de methode, j'en ai essaye pas mal mais ca bloque toujours...

Posté par
ciocciu
re : demonstration par recurrence 29-11-16 à 08:04

salut
intialisation: pour n=3 ça fait quoi ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : demonstration par recurrence 29-11-16 à 08:42

Bonjour,
Je propose de transformer l'inégalité pour rendre l'hérédité plus facile à démontrer.
(n+1)n nn+1 (n+1)n nnn ((n+1)/n)n n (1+1/n)n n

Posté par
Chamsi68
re : demonstration par recurrence 29-11-16 à 18:25

Mon raisonnement est le suivant :
k\in un entier avec 1\leq k\leq n
On a k\leq n \Leftrightarrow \frac{1}{k}\geq \frac{1}{n} \Leftrightarrow 1+\frac{1}{k}\geq 1+\frac{1}{n} \Leftrightarrow \prod_{k=1}^{n}{\left(1+\frac{1}{k} \right)}\geq \prod_{k=1}^{n}{\left(1+\frac{1}{n} \right)} \Leftrightarrow \prod_{k=1}^{n}{\left(\frac{k+1}{k} \right)}\geq \left(1+\frac{1}{n} \right)^n \Leftrightarrow 2\times \frac{3}{2}\times \frac{4}{3}\times .....\times \frac{n+1}{n}\geq \left(1+\frac{1}{n} \right)^n
En simplifiant on obtient n+1\geq \left(1+\frac{1}{n} \right)^n
Et c'est là où je trouve un problème !

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : demonstration par recurrence 30-11-16 à 09:03

Bonne idée ce produit ; mais ça n'a pas l'air d'aboutir et ce n'est pas vraiment une récurrence.
Essaye l'hérédité avec (1+1/n)n n .

Posté par
Chamsi68
re : demonstration par recurrence 30-11-16 à 18:40

J'ai pensé que ce raisonnement pourrait m'être utile pour démontrer la première inégalité par récurrence.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : demonstration par recurrence 30-11-16 à 19:37

Essaye de démontrer que ( 1+1/(n+1) )n+1 n+1 en utilisant (1+1/n)n n .
Tu peux démarrer par ( 1+1/(n+1) )n (1+1/n)n

Posté par
carpediem
re : demonstration par recurrence 30-11-16 à 20:06

salut

ce n'est pas le genre de démonstration qui se prête à une récurrence ....

est-ce une obligation ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : demonstration par recurrence 30-11-16 à 22:24

Bonsoir carpediem,
En quoi " ce n'est pas le genre de démonstration qui se prête à une récurrence " ?

Posté par
carpediem
re : demonstration par recurrence 30-11-16 à 23:15

parce qu'il n'y a aucun moyen "simple" et en particulier en terminale pour passer de P(n) à P(n + 1) ... ce me semble-t-il ...

Posté par
carpediem
re : demonstration par recurrence 30-11-16 à 23:18

et que je ne vois pas comment "on injecte" P(n) dans P(n + 1) ...

mais "je" n''est pas une preuve,juste une suspicion ...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : demonstration par recurrence 01-12-16 à 08:17

Si je ne me trompe pas, c'est assez simple en multipliant par 1 + 1/(n+1) l'inégalité ( 1 + 1/(n+1) )n n .

Posté par
Chamsi68
re : demonstration par recurrence 01-12-16 à 18:12

Merci à vous !

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : demonstration par recurrence 01-12-16 à 23:27

De rien, et à une autre fois sur l'île

Posté par
lake
re : demonstration par recurrence 02-12-16 à 09:28

Bonjour à tous,

J' attendais que Sylvieg et toi aient terminé la méthode par récurrence pour donner une démonstration directe:

On démontre dans un premier temps que pour tout x\geq 0, \ln\,(1+x)\leq x (1) (par exemple avec l' étude des variations de la fonction différence).

Soit A=\dfrac{(n+1)^n}{n^{n+1}}

\ln\,A=n\,\ln\,(n+1)-(n+1)\ln\,n=n\,\ln\,\left(1+\dfrac{1}{n}\right)-\ln\,n

Puis en utilisant (1) avec x=\dfrac{1}{n}:

\ln\,A\leq 1-\ln\,n\leq 0 pour n\geq 3

Donc A\leq 1 pour n\geq 3

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : demonstration par recurrence 02-12-16 à 15:42

Merci lake pour cette démonstration
Elle permet de comprendre d'où vient la condition n3 .

Posté par
Nofutur2
re : demonstration par recurrence 02-12-16 à 15:48

Oui ... Très joli Lake
Surtout le fait de penser à passer par la démonstration de l'inégalité préliminaire !!!

Posté par
carpediem
re : demonstration par recurrence 02-12-16 à 18:37

oui bien sur j'y avais déjà penser depuis longtemps au ln ...

une autre remarque sur la condition n > 3

la suite \left( 1 + \dfrac 1 n \right)^n  converge en croissant vers e

donc l'inégalité \left( 1 + \dfrac 1 n \right)^n < n est évidemment vraie pour n \ge 3 et on vérifie qu'elle est effectivement fausse avant 3

et par récurrence pour bien voir les chose

on suppose (1 + 1/n)^n < n

alors [1 + 1/(n + 1)]^{n + 1} = [1 + 1/(n + 1)][1 + 1/(n + 1)]^n < [1 + 1/(n + 1)] (1 + 1/n)^n < [1 + 1/(n + 1)]n = n + n/(n + 1) < n + 1

on remarque que la propriété est héréditaire à partir du rang 1 mais vraie à partir du rang 3 (c'est un exemple où l'initialisation est fondamentale pour affirmer la véracité de la proprosition)

et pourquoi elle est héréditaire à partir du rang 1 alors que P(1) et P(2) sont fausses :

tout simplement parce que F => F et F => V sont des propositions vraies

donc P(1) => P(2), P(2) => P(3) sont vraies

et bien sur P(n) => P(n + 1) est vraie au delà puisque V => V




Sylvieg effectivement modulo la transformation d'écriture la récurrence est relativement aisée ....

Posté par
carpediem
re : demonstration par recurrence 02-12-16 à 18:46

pour revenir sur la démonstration de carpediem :

comparer les nombres strictement positifs (n + 1)^n  et  n^{n + 1} équivaut à comparer leur logarithme

on prend les logarithme, on fait la différence et on divise par n(n + 1) et cela revient à étudier les nombres \frac {\ln(n + 1)}{n + 1}  et  \dfrac {\ln n} n

l'étude de la fonction x \mapsto \dfrac {\ln x} x montre qu'elle est décroissante après e (où elle atteint son maximum) ... sans avoir besoin de l'inégalité préliminaire donnée par lake

Posté par
carpediem
re : demonstration par recurrence 02-12-16 à 18:46

démonstration de lake bien sur ...

Posté par
carpediem
re : demonstration par recurrence 02-12-16 à 18:57

Citation :
on prend les logarithme, on fait la différence et on divise par n(n + 1) qui est positif et cela revient à étudier comparer les nombres \frac {\ln(n + 1)}{n + 1}  et  \dfrac {\ln n} n


Posté par
Sylvieg Moderateur
re : demonstration par recurrence 03-12-16 à 09:01

Bonjour,
Une autre démonstration sans récurrence, mais qui utilise ln(1+x) x :

ln(1+1/n) 1/n donc n ln(1+1/n) 1 donc ln (1+1/n)n 1 donc (1+1/n)n e

D'où (1+1/n)n n si e n .



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