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Démonstration par récurrence.

Posté par
matheux14 10-12-20 à 00:41

Bonjour ,

Merci d'avance.

Démontrer par récurrence que \forall n \in \N , 7/3^{2n+1}+2^{n+2}

Réponse

Soit P(n) : << \forall n \in \N , 7/3^{2n+1}+2^{n+2}>>

* Vérifions que P(0) est vraie.

P(0) ==> 30+1+20+2=3+2²=3+4=7.

7/7 donc P(0) est vraie.

* Maintenant je n'arrive pas à montrer que P(k) vraie ==> P(k+1) est vraie ( k de N).

Posté par
Zormuchere : Démonstration par récurrence. 10-12-20 à 00:59

Bonsoir

la propriété au rang k+1 est     7 $ divise $ 3^{2(k+1)+1}+2^{(k+1)+2}    c'est à dire   7 $ divise $ 3^{2k+3}+2^{k+3}

Essaie de calculer \Big(3^{2k+3}+2^{k+3}\Big)-\Big(3^{2k+1}-2^{k+2}\Big)  et montre que si l'hypothèse de récurrence est vérifiée, alors c'est un multiple de 7

Posté par
Zormuchere : Démonstration par récurrence. 10-12-20 à 01:00

oups je me suis trompé :

c'est  \Big(3^{2k+3}+2^{k+3}\Big)-\Big(3^{2k+1}{\color{red}+}2^{k+2}\Big)   qu'il faut calculer

Posté par
matheux14re : Démonstration par récurrence. 10-12-20 à 01:15

\Big(3^{2k+3}+2^{k+3}\Big)-\Big(3^{2k+1}{\color{red}+}2^{k+2}\Big)=3^{2k+3}-3^{2k+1}+2^{k+3}-2^{k+2}  

Posté par
Zormuchere : Démonstration par récurrence. 10-12-20 à 01:44

Tu peux factoriser 3^{2k+3}-3^{2k+1}

et  2^{k+3}-2^{k+2}

vois-tu les facteurs communs ?

Posté par
matheux14re : Démonstration par récurrence. 10-12-20 à 07:19

Euh non ..

Posté par
Yzzre : Démonstration par récurrence. 10-12-20 à 07:25

Salut,

En attendant le retour de Zormuche  ( )

an+m = anam

Posté par
carpediemre : Démonstration par récurrence. 10-12-20 à 11:54

salut

matheux14 @ 10-12-2020 à 00:41

Démontrer par récurrence que \forall n \in \N , 7/3^{2n+1}+2^{n+2}

Réponse

Soit P(n) : << \forall n \in \N , 7/3^{2n+1}+2^{n+2}>> faux à cause du symbole quel que soit

* Vérifions que P(0) est vraie.

P(0) ==> 30+1+20+2=3+2²=3+4=7.  ne veut rien dire : 7/7 = 1

7/7 donc P(0) est vraie. ne veut rien dire

Posté par
matheux14re : Démonstration par récurrence. 10-12-20 à 14:59

Je ne comprends pas bien

Posté par
Zormuchere : Démonstration par récurrence. 10-12-20 à 17:57

la remarque de carpediem concerne ta rédaction, elle n'est pas rigoureuse
La propriété P(n) c'est : "7 divise 3^{2n+1}+2^{n+2} "

et certainement pas "pour tout n...", sinon ça n'a plus de sens de parler de P(n) pour un entier n donné

Utilise le signe | pour dire "divise", sinon ça peut s'apparenter à une division et ça n'a plus de sens de parler de la vérité d'une division

Je t'invite maintenant à regarder les messages de Yzz et moi-même pour trouver le facteur commun

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Démonstration par récurrence. 12-12-20 à 19:11

Bonjour,
le temps a passé et matheux14 en est resté à

Zormuche @ 10-12-2020 à 00:59

Bonsoir

la propriété au rang k+1 est 7 $ divise $ 3^{2(k+1)+1}+2^{(k+1)+2} c'est à dire 7 $ divise $ 3^{2k+3}+2^{k+3}

Essaie de calculer \Big(3^{2k+3}+2^{k+3}\Big)-\Big(3^{2k+1}{\color{red}+}2^{k+2}\Big) et montre que si l'hypothèse de récurrence est vérifiée, alors c'est un multiple de 7
Puis
Zormuche @ 10-12-2020 à 01:44

Tu peux factoriser 3^{2k+3}-3^{2k+1}

et 2^{k+3}-2^{k+2}

vois-tu les facteurs communs ?

@matheux14,
Ce serait \; x2021 - x2020 , tu ne verrais pas que l'on peut factoriser par \; x2020 \; ?

Posté par
matheux14re : Démonstration par récurrence. 12-12-20 à 19:40

Bien sûr !

Mais ce n'est pas ça qui me dérange au fait.

Soit P(n) : << \forall n \in \N , 7/3^{2n+1}+2^{n+2}>>

* Vérifions que P(0) est vraie.

P(0) ==> 30+1+20+2=3+2²=3+4=7.

7/7 donc P(0) est vraie.

* P(k) vraie ==> P(k+1) = 32k+3+2k+3

Pk=
==> 9×32k+1+2k+3

Arrivé là je dois faire apparaître Pk...

Mais je ne comprends pas pourquoi

Zormuche @ 10-12-2020 à 01:00

oups je me suis trompé :

c'est  \Big(3^{2k+3}+2^{k+3}\Big)-\Big(3^{2k+1}{\color{red}+}2^{k+2}\Big)   qu'il faut calculer
  

Posté par
carpediemre : Démonstration par récurrence. 12-12-20 à 19:47

connais-tu la règle fondamentale de l'arithmétique ?

ce que Zormuche te demande c'est de l'appliquer en montrant que :

si a est multiple de d et si b - a est multiple de d alors ... ?

voila pourquoi il faut calculer b - a ...

Posté par
matheux14re : Démonstration par récurrence. 12-12-20 à 20:32

Citation :
connais-tu la règle fondamentale de l'arithmétique ?


Non

Posté par
carpediemre : Démonstration par récurrence. 12-12-20 à 20:35

qu'as-tu dans ton cours ? (relis mon précédent msg qui doit t'inspirer ...)

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Démonstration par récurrence. 12-12-20 à 21:42

@matheux14,
Tu continues à écrire

Citation :
Soit P(n) : << \forall n \in \N , 7/3^{2n+1}+2^{n+2}>>
Alors qu'il t'a déjà été expliqué que ça n'allait pas.
Pour n dans , poser P(n) : << 7 divise 3^{2n+1}+2^{n+2}>>
Pas de \forall n à l'intérieur de P(n).
Et évite d'utiliser le symbole "/" pour "divise" ; nous ne l'aimons pas.

Par ailleurs tu confonds P(n) avec l'entier 3^{2n+1}+2^{n+2}.
Si tu veux raccourcir, tu poses An = 32n+1 + 2n+2

Tu cherches à démontrer que
si 7 divise An \; alors \; 7 divise An+1

Je reformule ce que carpediem essaye de te faire comprendre :
An+1 = An + (An+1 - An)
De la forme B = A + C.
Si tu démontres que A et C sont divisibles par 7, tu en déduiras que B aussi.

Posté par
matheux14re : Démonstration par récurrence. 13-12-20 à 07:31

Posons An=32n+1+2n+2

P(n) : << 7 | An>> n \in \N

* A0= 32×0+1+20+2=7

Donc 7 | A0

* Soit k\in \N , supposons que Ak est vraie.

Ak+1=32(k+1)+1+2k+1+2


=32k+3+2k+3

=9×32k+1+2×2k+2

=9(32k+1+2k+2)-9×2k+2+2×2k+2

=9Ak+(-9+2)×2k+2

=9Ak-7×2k+2

Comme 7 | 7 et 7 | Ak , 7 | 9Ak-7×2k+2

Ak vraie ==> 7 | Ak+1 vraie.


Conclusion : P(n) est vraie.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Démonstration par récurrence. 13-12-20 à 08:00

Ak est un entier.
Un entier qui peut être divisible par 7 ou pas.
Mais écrire qu'un entier est vrai n'a pas de sens.
P(k) vrai a un sens.

Sinon, le reste tient la route

Posté par
matheux14re : Démonstration par récurrence. 13-12-20 à 08:22

Merci  


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