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démonstration soustraire, c'est ajouter l'opposé
soustraire, c'est ajouter l'opposé
comment démontrer cette propriété en classe de 5°
MERCI
a-b = a + (-b)
a-b = a + x
je soustrait a au deux membres
a - b - a = a + x - a
a - a - b = a - a + x
0-b = 0 + x
-b = x
x = -b
je croit que les 5° voit les équations ( d'après ce que j'ai vue sur internet). Et je n'est pas utilisé la loi finale, donc je pense que c'est correct.
Bonjour.
Avec les dettes. Les dettes sont négatives.
Tu as a dans ta caisse. Il t'srrive une lettre de b.
Ta situation est a+(-b) et ta fortune devient a-b. Donc a-b = a+(-b).
Ta fortune en tenant compte des dettes est a. On t'annule une dette d'un montant b. Ta situation devient a-(-b) et ta fortune augmente de b grâce à cette annulation. Donc a-(-b) = a+b.
Bonjour!
Personnellement, je passe par là. on ne peut pas dire que ce soit une démonstration à proprement parler mais elle marque les esprits et j'aime bien cette astuce (en plus on réutilise la notion d'opposé)
(+a) - (+b) = (+a) + 0 - (+b)
Or 0 peut s'écrire comme la somme de deux nombres opposés; choisissons (au hasard le plus total ^^) 0 = (-b) + (+b)
on a donc:
(+a) - (+b) = (+a) + (-b) + (+b) - (+b) = (+a) + (-b) + 0 en signalant à mes élèves que faire la dernière soustraction est ici licite même s'ils ne le savent pas encore; d'où le côté bancal de la chose.
Sinon, un truc qui marche bien aussi ce sont les deux équipes qui s'affrontent.
La soustraction correspond à une trahison et donc, -(+b) indique que les b éléments ont trahi les + au profit des -. C'est pas très clair comme ça mais ça marche bien pourtant! J'essaierai de le récrire ce soir.
Bonjour,
la découverte des opérations sur les nombres relatifs est un point assez douloureux pour les élèves en 5ème.
Certains n'y comprennent rien, n'y comprendront rien l'année suivante, et encore les années suivantes ... j'ai déjà vu des élèves de terminale incapables de donner une réponse à l'opération "8-12" sans utiliser une calculatrice !
Du coup, faire des démonstrations, par exemple en utilisant le principe des équations très mal maitrisé à ce niveau, qui demande plusieurs lignes et l'usage de plusieurs lettres est à mon avis contre-productif : cela va effrayer et embrouiller davantage !
Il est préférable de rester simple, de faire comprendre les choses avec une histoire de compte bancaire, avec de l'argent qu'on ajoute ou qu'on enlève, les dettes étant notées négativement.
Avec cette méthode, on peut même faire comprendre que supprimer une dette, c'est rajouter de l'argent (- et - donne +).
En général, je pense que pour les maths, il faut surtout pratiquer, admettre certaines règles de temps en temps. Il est bien plus intéressant et utile de comprendre une démonstration sur quelque chose qu'on pratique et qu'on maitrise.
soustraire, c'est ajouter l'opposé
comment démontrer cette propriété en classe de 5°
MERCI
Comment définis tu la soustraction ?
a - b = a + (-b)
d'avance merci
Dire que a-b=a+(-b) c'est bien dire que soustraire c'est ajouter l'opposer. Ce n'est pas une propriété mais bien la définition de la soustraction de deux entiers relatifs.
Non?
Equations, passage par le 0, gains et pertes, ... tout cela est juste mais parait bien compliqué, non ? Attention aussi à ne pas trop vite enlever les parenthèses et aux additions algébriques, car là on les perd encore plus.
Comme suggéré par co13 ou jonjon, autant revenir à la définition de la soustraction ! Donc à des additions à trou que l'on sait compléter.
En gros, (+8) - (+12) est le nombre que l'on ajoute à 12 pour donner 8, d'où (+12) + (-4) = (+8) et (+8) - (+12) = (-4). On remarque que (+8) + (-12) = (-4) aussi et que ces écritures peuvent se simplifier en écrivant 8-12 = -4
la découverte des opérations sur les nombres relatifs est un point assez douloureux pour les élèves en 5ème.
Certains n'y comprennent rien, n'y comprendront rien l'année suivante, et encore les années suivantes ...
Les élèves se mettent souvent des blocages psychologiques sur des notions mathématiques, ou inventent des règles qui leur semblent plus logique, avant de se rendre compte que ce n'est pas si compliqué que cela.
Beaucoup n'y arrivent pas, même plusieurs années après. Un professeur qui voudrait à tout prix démontrer un truc comme les règles d'addition ou de soustraction des relatifs se trompe d'objectif.
Si c'est pour rendre la notion plus compréhensible, ou plus mathématiquement correcte, ou même plus accessible pour les élèves, c'est un peu loupé quelque soit la façon dont on s'y prend. Aucune démo ne peut être logique et acceptable du point de vue de l'élève.
Deux démarches conjointes permettent de faire passer les élèves du bon côté de la barrière (psycho)logique qui les gène:
- point de vue historique : il a fallu plus de 18 siècles pour que les mathématiciens acceptent les relatifs comme des nombres comme les autres, avec leurs opérations. On demande aux élèves de les accepter en deux semaines, même si ils en ont une représentation grâce aux températures, aux dates, aux altitudes ou aux ascenseurs. Autant dire que c'est normal que cela soit difficile pour eux.
- point de vue logique : avec des gains et des pertes, on additionne facilement, et on mathématise la règle après. Pour la soustraction c'est plus compliqué, surtout pour le fait de perdre une dette, même si ça peut débloquer certains.
Le mieux reste de partir d'exemples d'additions à trou et de généraliser pour obtenir la fameuse règle "soustraire c'est ajouter l'opposer". Faire beaucoup d'exercices d'application aussi, plutôt que de vouloir le démontrer "proprement", semble plus productif selon moi.
Bon courage.
"Du coup, faire des démonstrations, par exemple en utilisant le principe des équations très mal maitrisé à ce niveau, qui demande plusieurs lignes et l'usage de plusieurs lettres est à mon avis contre-productif : cela va effrayer et embrouiller davantage ! "
pour moi faut faire les deux, cette peur des lettres cause bien des catastrophes par la suite puisque les élèves les voient de plus en plus tard .
Certaines études sérieuses nous expliquent que l'âge moyen pour comprendre des notions de raisonnement déductif ou assez abstraites, du genre des démonstrations ou du calcul littéral, se situe aux alentours de 13 ou 14 ans.
Cela signifie qu'en 5ème, une grosse partie des élèves ne sont pas encore "équipés" pour comprendre de quoi il est question quand on leur demande de tenir des raisonnements ou de manipuler des expressions avec des lettres.
Il faut donc être prudent ...
Démonstration de la règle de transformation de la soustraction en addition de l'opposé :
a - b donne le même résultat que a + b + opp (b) - b
--------------------
en effet b + opp (b) = 0
nous n'avons donc rien changé au résultat
En changeant l'ordre (avec conservation des opérations)
a - b c'est donc aussi a + b - b + opp b
--------
or b - b = 0
d'où l'on déduit que
a - b donne le même résultat que a + opp b
Soustraire un nombre (ici b) revient à additionner son opposé
Pour soustraire b j'additionne l'opposé de b
(parce que c'est plus facile d'additionner)
Bonsoir,
**Le coup de l'ascenseur**
Pour amener les nombres négatifs:
dans certains immeubles, il existe plusieurs niveaux 'enterrés' ;je me trouve au huitième étage et je descend de 10 niveaux :
Alain
Bonsoir,
je me souviens avec plaisir du temps où, en cinquième, Z était l'ensemble des classes d'équivalences de N2 modulo la relation (a;b)~(c;d) si et seulement si a+d=b+c.
On pouvait donner des exemples pour justifier la pertinence de cette définition, mais on pouvait tout démontrer.
Et les élèves aimaient ça.
Je ne crois pas qu'ils étaient plus intelligents que maintenant, juste on leur donnait des occasions d'exercer leur intelligence.
et surtout ils (nous) avaient acquis tout le savoir et en particulier simplement le langage et le calcul élémentaire (numérique et littéral) pour accéder à cette définition ....
De mon temps (excusez-moi) on nous avait inculqué la notion de "somme algébrique" qui était une somme de nombres relatifs, en algèbre on ne parlait jamais de "différence".
Peut être est-ce un peu tôt pour la 5ème...
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