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non ca n'a pas encore été donné _{(mais les indications si)}

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Pour la question 1) je dirai 2ⁿ⁺¹-1

On considère k le cardinal de A, et on montre que pour A de cardinal k il y a 2^k ensemble B tel que A(union)B=E (il s'agit en fait de la somme des i parmi k pour i variant de 0 à k, ce qui vaut 2^k).
On somme donc de k=0 à n 2^k, ce qui donne le résultat.

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Non ta réponse n'est pas exacte. Regarde pour n=2 cela te fait 2^3-1 = 7 couples et si on les écris on en compte 9.

Mais ton raisonnement est juste :

"On considère k le cardinal de A, et on montre que pour A de cardinal k il y a 2^k ensemble B tel que A(union)B=E"

--> Combien d'ensembles A de cardinal k existent-t-il ? Il faut multiplier ce nombre par 2^k et sommer ensuite.

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Ah oui bien sûr, merci Jonjon ! Il faut donc sommer de k=0..n  (k parmi n)*2^k
Ce qui donne : (1+2)^n=3^n.
Mince je me souviens avoir déjà fait cet exo sur ce forum en plus, c'était dans la partie supérieur, j'avais répondu 3^n et elthor avait même confirmé

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je pose E={e₁ ; e₂ ; ... ; e_n}
pour chaque couple convenant, je construis le n-uplet (a₁ ; a₂ ; a₃ ; ... ; a_n) avec
a_i = 1 si e_i est dans AB
a_i = 2 si e_i est dans A et pas dans B
a_i = 3 si e_i est dans B et pas dans A

on démontre assez aisément qu'il y a une bijection entre tous les couples (A;B) convenant et tous les n-uplets composé de coordonnées choisies parmi {1;2;3}.

Moralité : il y a 3ⁿ couples convenant

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Joli !

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Merci...

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1) Les compléments de A et de B n'ont aucune partie commune. Ce problème revient à dénombrer les paires de parties {A, B} telle que A B = .
En excluant le doublement de :
Un ensemble à un seul élément, a n'a qu'une solution : ({a},].
Si un ensemble de n éléments a s solutions, pour chaque solution, un (n+1)ième élément s'adjoindra à l'une ou l'autre partie et il y aura deux nouvelles solutions;
Le nombre de solutions pour un ensemble à n élément est 2^n-1+1 (ajout de la paire de ).

2) Encore par passage au complément :
Solutions sans partie vide : 3^n-3 (1 pour un triplet, puis triplement à chaque insertion d'un nouvel élément).
Solutions avec une seule partie vide : 2^n-2 (1 pour un ensemble à deux éléments, puis doublement à chaque insertion d'un nouvel élément, qui ne peut s'ajouter à la pertie vide).
Solution avec deux parties vides : une seule solution (E, en double)
Solution avec les trois parties vides : une solution ( en triple).
Réponse 3^n-3 + 2^n-2 + 2

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Question 1)
Par passage au complément
Sans partie vide
Solutions pour l'ensemble AB : une seule (A B)
Avec chaque solution, un élément peut s'insérer dans une des deux parties ou dans aucune des deux; le nombre de solutions est donc multiplié par 3.
Donc 3^n-2.
Avec une ou deux parties vides
Chaque éléments peut faire partie ou non de la partie non vide. Si aucun n'en fait partie, on a le cas des deux parties vides.
Donc 2ⁿ.
Réponse : 3^n-2 + 2ⁿ.

Question 2)
Toujours par passage aux compléments :
Sans parties vides
Solutions pour l'ensemble A B C :
trois ou deux trios : 0
un trio, deux paires : 0
un trio, une paire, un singleton : ABC AB C : 3
trois paires : AB AC BC : 1
deux paires semblables : AB AB C : 3
deux paires différentes : AB AC B : 6 (choix de l'élément commun aux deux paires et de l'élément du singleton)
une paire et deux singletons semblables : AB C C : 3
une paire et deux singletons différents : AB A C : 9 (choix ad libitum de la paire et des deux singletons; 3*3 = 9)
trois singletons : 7 (6 avec deux singletons semblables et 1 avec trois singletons différents)
total : 3+1+3+6+3+9+7 = 32
Avec chaque solution, un nouvel élément peut s'insérer dans deux parties (3 solutions) ou dans une seule (3 solutions) ou ne pas s'insérer (1 solution); le nombre de solutions est donc multiplié par 7
Donc 32*7^n-3.
Avec une partie vide :
Solutions pour l'ensemble AB :
deux paires : AB AB 0 : 1
une paire : AB A 0 : 2
deux singletons : 3 (2 pour les singletons semblables et 1 pour les singletons différents)
total : 1+2+3 = 6
Avec chaque solution, un nouvel élément peut s'insérer dans une partie non vide ou les deux parties non vides ou ne pas s'insérer; le nombre de solutions est donc multiplié par 4.donc
Donc 6*4^n-2.
Avec deux ou trois parties vides
Chaque élément peut faire partie ou non de la partie non vide; si aucun n'en fait partie, on a le cas des trois parties vides.
Donc 2ⁿ.
Réponse : 32*7^n-3 + 6*4^n-2 + 2ⁿ.

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en utilisant la methode classique ou  en écrivant que pour un élément x quelconque de E  on a l'une des  7 possibilités :il est dans

je trouve 7^n triplets (A,B,C) de parties de E   tels

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On demande le nombre de couples (A,B) pas le nombre de paires (A,B).
Ta formule pour le 1) est fausse pour n=3.
Pour les complémentaires, il y a bien paires avec une ou deux parties vides, mais il y en a 6 sans partie vide:
(1,2) , (1,3) , (2,3) , (12,3) , (13,2) et (23,1).

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Il y a 2^p-1 façons de décréter, pour chaque élément de E, à quels ensembles il appartient (sans appartenir aux autres) parmi les (A1 ; A2 ; ... ; Ap)

Un recouvrement se code donc comme un n-uplets de coordonnées, chacune choisie parmi 2^p-1 possibilités

Au final, les p-uplets de parties recouvrant E par leur réunion sont au nombres de (2^p-1)ⁿ

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on traite le cas à deux éléments. Si a éléments, alors il faut que contienne les autres éléments. Il y a par ailleurs choix pour déterminer les éléments de qui sont aussi dans ou non.
Il y a de tels ensembles , et il faut somme tout cela de allant de 0 à n. On note le nombre d'ensembles tels que , étant un ensemble à n éléments.
On a alors .

Par un raisonnement analogue, on obtient le lien de récurrence sur suivant :
pour .
Ceci donne puis
.
Ceci nous mène à conjecturer que . On a vu que c'est vrai pour (ça l'est d'ailleurs pour ). On a
.