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Dénombrement

Posté par
saliout123
10-01-18 à 15:37

Bonjour
On repartit n boules numérotés dans k  boules numérotés . Combien y a-t-il de répartitions possibles?

Posté par
carpediem
re : Dénombrement 10-01-18 à 15:41

saliout123 @ 10-01-2018 à 15:37

Bonjour
On repartit n boules numérotés dans k  boules numérotés . Combien y a-t-il de répartitions possibles?


un tel énoncé me fout les boules

Posté par
carpediem
re : Dénombrement 10-01-18 à 15:41

saliout123 @ 10-01-2018 à 15:37

Bonjour
On repartit n boules numérotés dans k  boules numérotés . Combien y a-t-il de répartitions possibles?


un tel énoncé me fout les boules

Posté par
saliout123
re : Dénombrement 10-01-18 à 15:54

Pardon le vrai énoncé c'est n boules dans k tiroirs numérotés.
    

Posté par
carpediem
re : Dénombrement 10-01-18 à 16:10

notons * une boule et + un tiroir ... alors une représentation possible est :

***+ * ++ ****+*+**+ ...

qui se comprend ainsi :

trois boules dans le premier tiroir
une dans le deuxième
zéro dans le troisième
quatre dans le quatrième ...

Posté par
saliout123
re : Dénombrement 12-01-18 à 12:53

Bonjour oui je comprends cela.

Posté par
flight
re : Dénombrement 12-01-18 à 15:32

salut

si les boules et les tiroirs sont numerotés alors si on peut mettre plusieurs boules dans un meme tiroir
pour la premiere boule k possibilités
pour la seconde k possibilités
..
pour la derniere boule ,  k possibilités

soit ....

Posté par
lake
re : Dénombrement 12-01-18 à 15:37

Bonjour,

Le "vrai" énoncé:

  

Citation :
le vrai énoncé c'est n boules dans k tiroirs numérotés.


Je ne pense pas que les boules soient considérées comme discernables et évidemment c'est un peu plus compliqué...

Posté par
flight
re : Dénombrement 12-01-18 à 16:40

si les boules ne sont pas numerotées il suffit de trouver les dispositions de
|||||...|ooooooo...o     ( soit pour k-1 séparations et n boules)..avec les combinaisons c'est rapide

Posté par
saliout123
re : Dénombrement 12-01-18 à 17:09

Excusez moi je ne vous suis pas.

Posté par
saliout123
re : Dénombrement 12-01-18 à 17:12

Les boules sont numérotés.
Dans ce cas donc il y a kn

Posté par
saliout123
re : Dénombrement 12-01-18 à 17:17

je veux essayer le cas ou les boules sont indiscernables.
Pour le premier tiroir on choisit i boules parmi n soit C_n^i mais je ne sais pas pour le reste.
  

Posté par
Sylvieg
re : Dénombrement 12-01-18 à 18:41

Dans le cas de boules indiscernables, exploiter le message de carpediem à 16h10.

Posté par
saliout123
re : Dénombrement 12-01-18 à 19:43

Bonjour mais comment je peux tirer le nombre de cas possible.

Posté par
Sylvieg
re : Dénombrement 12-01-18 à 20:46

Dans le codage proposé, une répartition est représentée par une succession de  *  et  de + que l'on peut appeler mot.
Il y a autant de  *  que de boules, et autant de  +  que de tiroirs.
Combien de symboles en tout dans un tel mot ?

Posté par
saliout123
re : Dénombrement 12-01-18 à 20:59

Peut être n excusez moi si c'est idiot.

Posté par
mathafou
re : Dénombrement 12-01-18 à 21:08

Bonjour,

"et autant de  +  que de tiroirs"
pas vraiment
il y a autant de + (je note | car c'est la notation traditionnelle) que de séparations entre les tiroirs

(1er tiroir) | (2ème tiroir) | (3ème tiroir) | ... | (kème tiroir)

il y a donc k-1 symboles |
et n symboles * (les boules)

donc  n+k-1 symboles en tout ...

Posté par
carpediem
re : Dénombrement 12-01-18 à 21:18

oui j'ai simplement utiliser le + qui ne nécessite qu'une frappe alors que | nécessite deux frappes (dont une continue)

Posté par
mathafou
re : Dénombrement 12-01-18 à 21:20

on peut noter ça comme on veut, le tout est de ne pas se tromper sur le nombre qu'on en met ...

Posté par
saliout123
re : Dénombrement 12-01-18 à 21:22

Je comprends cela. Mais quel est le nombre de cas favorables

Posté par
mathafou
re : Dénombrement 12-01-18 à 21:44

ce qui est désolant c'est l'amalgame fait dans l'enseignement actuel entre

- statistiques et probabilités
- et dénombrements

il n'y a pas de "cas favorables" dans le domaine des dénombrements, il y a des cas tout court :
le nombre de façons de faire et juste le nombre de façons de faire
point barre.

le nombre de façons de choisir n objets (les étoiles) parmi n+k-1 objets (les symboles du mot)
ou ce qui est totalement la même chose, de choisir les k-1 séparateurs parmi les n+k-1 symboles

Posté par
saliout123
re : Dénombrement 12-01-18 à 21:51

Mais pourquoi on choisit n symboles.

Posté par
mathafou
re : Dénombrement 12-01-18 à 22:04

parmi les n+k-1 symboles en tout
on doit en avoir n qui sont des boules (des *) et k-1 qui sont des séparations de tiroirs (des + ou | comme on veut les écrire)

et ce "de toutes les façons possibles"
de toutes les façons de choisir parmi ces n+k-1 symboles en tout quels sont les n d'entre eux qui seront des * (des boules) et donc ce qui reste les k-1 symboles qui seront des + (ou |)

Posté par
saliout123
re : Dénombrement 12-01-18 à 22:35

On doit avoir n boules parmi ces n+k-1 symboles. Le nombre de cas totale est donc C_{n+k-1}^n qui représente toutes les manières d'avoir n boules.
Merci de votre patience. Je comprends mieux maintenant .

Posté par
Sylvieg
re : Dénombrement 13-01-18 à 07:24

Merci mathafou d'avoir pris le relais.
J'avais voulu "coller" au message de carpediem qui parlait de tiroir (à droite de son contenant) et pas de séparation. Ce qui impliquait un symbole + à la fin pour tous les mots.

Et si les tiroirs sont indiscernables ?  

Posté par
mathafou
re : Dénombrement 13-01-18 à 08:31

si tout est indiscernable, si je ne me trompe, c'est le nombre de partitions du nombre n en au plus k sommants p(n,k)
à part l'utilisation de fonctions génératrices (complètement hors sujet) on ne peut calculer ça que par récurrence.

p(0, k) = 1  (une seule façon de ne mettre aucun objet dans autant de tiroirs qu'on veut)
p(n, 0) = 0  (aucune façon de mettre des objets dans aucun tiroir)
p(n, 1) = 1  (une seule façon de mettre tous ces objets dans le seul tiroir qu'il y a)
p(1, k) = 1  (une seule façon de mettre un seul objet dans un quelconque des tiroirs)


et ensuite par récurrence :
p(n, k) = p(n, k-1) + p(n-k, k)
avec p(n-k, m) = 0 si n-k<0 quel que soit m

et un tableau des p(n, k) qui s'obtient un peu comme le triangle de Pascal

exemple, pour mettre 7 objets dans 3 tiroirs il y a 8 possibilités
7                                           tout dans un seul des tiroirs
6+1, 5+2, 4+3                         en utilisant deux des trois tiroirs
5+1+1, 4+2+1, 3+2+2, 3+3+1    avec quelque chose dans chacun des tiroirs
le lecteur pourra calculer ça avec la récurrence ou le tableau

fonction récursive en Python pour calculer ça avec la définition ci dessus :

def p(n,k):
    if(n<0 or k==0):
        return 0
    if(n==0 or n==1 or k==1):
        return 1
    return p(n,k-1)+p(n-k,k)

(la fonction s'appelle elle même, d'où l'appellation de "fonction récursive")

Posté par
alb12
re : Dénombrement 13-01-18 à 10:32

salut,
tres interessant, je note ce sujet

Posté par
lake
re : Dénombrement 13-01-18 à 11:34

Bonjour,

Pour en revenir au problème initial (n boules indiscernables dans k tiroirs discernables), il existe de nombreuses démonstrations; en autres par récurrence sur k.

Posté par
mathafou
re : Dénombrement 13-01-18 à 11:52

l'énoncé "du problème initial" est à géométrie variable :
plusieurs énoncés sans certitude sur la réalité du véritable énoncé

le 10-01-18 à 15:37 : "n boules numérotés dans k  boules tiroirs numérotés"

puis est devenu :

le 10-01-18 à 15:54 : "le vrai énoncé c'est n boules dans k tiroirs numérotés."

puis (après avoir supposé que les boules étaient indiscernables =  non numérotées)
le 12-01-18 à 17:12 : "Les boules sont numérotés".

dont on peut supposer que c'est le vrai énoncé (conforme au premier message sauf la faute de frappe sur les tiroirs)

ensuite on a parlé "hors exo" des cas ou les boules et/ou les tiroirs étaient indiscernables...

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