...et contrainte supplementaire , la somme des cardinaux de X ,Y et Z doit etre celui de E

Bonjour,
il faudrait préciser si on accepte qu'une partie soit vide.

Bonjour Jandri , aucune partie ne doit etre vide

Alors c'est facile :

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C'est le nombre de surjections de sur c'est-à-dire

je me questionne sur ce resultat Jandri , le cardinal de E contient n elements qui ne sont pas forcement discernables , je pense par là à un ensemble E contenant n "croix" .

pour illustrer ca si je prend 5 elements discernables à repartir dans 3 ensembles X,Y et Z , alors la répartition peut se faire comme suit :
X  Y  Z
1  1  3  --> 3*C(5,3)*C(2,1)*C(1,1)=60
2  2  1   --> 3*C(5,2)*C(3,2)*C(1,1)=90
total 150  ( on a donc discerné les elements à placer dans X ,Y et Z)

avec la formule du calcul du nombre de surjections on retrouve également ce résultat ;C(3,1) - C(3,2).2⁵+C(3,3).3⁵=3-96+243=150.

j'aurai plutot donc  répondu C(n-1,2) = (n-1)(n-2)/2  en considérant les elements de E non discernables

@flight
je ne suis pas d'accord avec toi, pour former une partie d'un ensemble E il faut bien que les éléments de E soient numérotés : par exemple, la partie formée par les trois premiers éléments n'est pas la même que celle qui est formée par les 3 derniers.

Ton résultat C(n-1,2) = (n-1)(n-2)/2 est le nombre de décompositions ordonnées de n comme somme de 3 entiers strictement positifs.