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Densité

Posté par
Yona07
26-11-21 à 23:34

Bonsoir!

I. Montrer que l'ensemble \{\cos(\ln(n)): n\in\N^*\} est dense dans [-1;1].

II. Soient f: \R\rightarrow \C une application continue et D une partie dense de .

1. Montrer que f(D) est dense dans f().
2. En déduire que l'ensemble \{e^{2in\pi x}: n\in Z\} est dense dans le cercle unité si et seulement si x\in \R-\Q.

J'enverrai ce que j'ai fait dans le message suivant.
Merci d'avance!

Posté par
Yona07
re : Densité 27-11-21 à 00:01

Pour 1:

\text{On a : } 2^m\in\N^*,\text{ avec }m\in \N, \text{ donc: } \\ \{\cos(\ln(2^m)): m\in \N\}\subseteq \{\cos(\ln(n));n\in N^*\}\\\{\cos(m\ln(2)): m\in \N\}\subseteq \{\cos(\ln(n));n\in N^*\}\\ \cos(\ln(2)\Z+2\pi\Z):\subseteq \{\cos(\ln(n));n\in N^*\}\\\\\text{En fait, }\pi \text{ et } \ln(2) \text{ sont incommensurables, donc: }\ln(2)\Z+2\pi\Z \text{ est non monogène et par la suite dense dans }\R.\\\text{Soit }x\in [-1;1], \text{ alors il existe p }\in [0;\pi]\text{ tel que: } \cos(p)=x, \\\text{Et comme }\ln(2)\Z+2\pi\Z \text{ est dense dans }\R, \text{ il existe une suite d'élément de }\ln(2)\Z+2\pi\Z \text{ qui converge vers p.}\\\text{L'image de cette suite par la fonction cosinus: } \{\cos(m\ln(2)): m\in \N\} \text{ converge vers x.}

Le problème c'est que j'ai montré qu'une partie de \{\cos(\ln(n));n\in N^*\} est dense dans [-1;1] pas l'ensemble tout entier...

Posté par
carpediem
re : Densité 27-11-21 à 09:12

salut

il est évident que si A \subset B \subset \R et que A est dense dans R alors B est dense dans R ...

je ne comprends pas le passage de la ligne 3 à la ligne 4 et je ne pense pas que cela convienne : ajouter k2i à un réel ne change pas son cosinus ...

plutôt dire que pi et ln 2 sont irrationnels ...

moi je prendrais plutôt l'ensemble des entiers m = 2^p \times 3^q

donc \ln m = p \ln 2 + q \ln 3

ln 2 et ln 3 sont irrationnels ainsi que leur quotients (ce qui montre qu'il n'existe pas d'entiers u et v tels que u \ln 2 =v \ln 3 et donc que m n'est jamais nul)

puis ensuite conclure comme tu l'as fait ...



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