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Densité d'une partie de R dans R

Posté par
Yona07
17-11-21 à 00:59

Bonjour!

Soit A vérifiant:

\begin{cases} \text{Pour tout } x\in R, \text{ il existe } a ,b\in A \text{ tels que: } a<x<b\\ \text{Pour tout } a,b \in A; \frac{a+b}{2}\in A. \end{cases}

Montrer que A est dense dans R.

Merci d'avance.

Posté par
Yona07
re : Densité d'une partie de R dans R 17-11-21 à 01:01

J'ai démontré dans un autre exo que A est dense dans ]inf(A); sup(A)[, mais je n'arrive pas à démontrer qu'il est dense dans R..

Posté par
verdurin
re : Densité d'une partie de R dans R 17-11-21 à 08:48

Bonjour,
il suffit de montrer que A n'est pas borné, en d'autres termes que inf(A)=- et sup(A)=+.

Posté par
carpediem
re : Densité d'une partie de R dans R 17-11-21 à 14:42

de la densité en terminale ?

Posté par
Ulmiere
re : Densité d'une partie de R dans R 17-11-21 à 18:23

Tu peux aussi écrire directement la définition. A dense dans R, ça veut dire que pour tout x réel et tout epsilon>0, il existe x_\varepsilon\in A tel que x-\varepsilon < x_\varepsilon < x+\varepsilon.

Tu appliques la première hypothèse et tu prends
* un a_\varepsilon\in A minorant de x+\varepsilon
* un b_\varepsilon\in A majorant de x-\varepsilon

Comme \varepsilon>0 il n'y a pas de risque que x-\varepsilon = x+\varepsilon. Il ne reste plus qu'à poser x_\varepsilon = \dfrac{b_\varepsilon+b_\varepsilon}{2} et à utiliser la deuxième hypothèse pour pouvoir conclure.

Posté par
Ulmiere
re : Densité d'une partie de R dans R 17-11-21 à 18:32

Correction: \dfrac{a_\varepsilon+b_\varepsilon}{2}

Attention quand-même à ne pas prendre un minorant trop petit ou un majorant trop grand.
Tu peux aussi ne pas prendre cela en considération et refaire la même chose jusqu'à ce que tu obtiennes ton candidat, par récurrence

Posté par
Yona07
re : Densité d'une partie de R dans R 17-11-21 à 21:25

Bonjour!
Merci pour avoir répondu!

Ulmiere @ 17-11-2021 à 18:32


Tu peux aussi ne pas prendre cela en considération et refaire la même chose jusqu'à ce que tu obtiennes ton candidat, par récurrence


C'est ce que j'ai fait également en montrant que A est dense dans ]inf(A);sup(A)[. J'ai montré par récurrence que k{0;...,2n}:

\frac{ka+(2^n-k)b}{2^n}\in A

J'enverrai la synthèse après avoir analysé ce que vous avez proposé.

Posté par
Yona07
re : Densité d'une partie de R dans R 17-11-21 à 21:55

Soit a et b deux éléments de A tels que: a<b.
On peut montrer par récurrence que: k{0,...,2n} \frac{ka+(2^n-k)b}{2^n}\in A.

Soit x. D'après l'hypothèse une, il existe et de A tels que: x];[. Ceci permet d'écrire: x=ta+(1-t)b où t]0;1[.

Soit alors x_n=\frac{k_n\alpha +(2^n-k_n)\beta}{2^n}k_n=E(2^nt)

x_n\in A \text{ et }x_n\rightarrow x

Ce choix est convenable, non?

Posté par
Ulmiere
re : Densité d'une partie de R dans R 17-11-21 à 23:42

Il y a un petit problème avec l'initialisation. En n = 0, x(n) = x n'est pas forcement un élément de A.
Trouve moi un n tel que x_n appartienne effectivement à A et montre moi l'hérédité de ta proposition et ce sera une bonne proposition

Posté par
carpediem
re : Densité d'une partie de R dans R 18-11-21 à 09:35

salut

je ne comprends pas trop toutes ces complications ..

A est dense dans R signifie que pour tout réel x il existe a dans A aussi proche de x que je veux

soit en mathématique : \forall \epsilon > 0  :  \exists a \in A  /  |x - a| \le \epsilon

soit donc un réel x et e > 0

d'après la propriété 1 de A il existe a et b dans A tels que a < x < b

il suffit alors d'appliquer la dichotomie en considérant c = (a + b)/2 (qui est un élément de A d'après la propriété 2 de A)

soit a < x < c soit c < x < b

tant que |c - a| > e ou |c - b| > e recommencer

PS : mettre des inégalités larges là où il faut !!



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