et sup(A)=+
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Niveau terminale
Densité d'une partie de R dans R
Posté par Yona07
Bonjour!
Soit A
vérifiant:
Montrer que A est dense dans R.
Merci d'avance.
J'ai démontré dans un autre exo que A est dense dans ]inf(A); sup(A)[, mais je n'arrive pas à démontrer qu'il est dense dans R..
Tu peux aussi écrire directement la définition. A dense dans R, ça veut dire que pour tout x réel et tout epsilon>0, il existe tel que
.
Tu appliques la première hypothèse et tu prends
* un minorant de
* un majorant de
Comme il n'y a pas de risque que
. Il ne reste plus qu'à poser
et à utiliser la deuxième hypothèse pour pouvoir conclure.
Correction:
Attention quand-même à ne pas prendre un minorant trop petit ou un majorant trop grand.
Tu peux aussi ne pas prendre cela en considération et refaire la même chose jusqu'à ce que tu obtiennes ton candidat, par récurrence
Bonjour!
Merci pour avoir répondu!
Ulmiere @ 17-11-2021 à 18:32
Tu peux aussi ne pas prendre cela en considération et refaire la même chose jusqu'à ce que tu obtiennes ton candidat, par récurrence
Tu peux aussi ne pas prendre cela en considération et refaire la même chose jusqu'à ce que tu obtiennes ton candidat, par récurrence
C'est ce que j'ai fait également en montrant que A est dense dans ]inf(A);sup(A)[. J'ai montré par récurrence que
k
{0;...,2n}:
J'enverrai la synthèse après avoir analysé ce que vous avez proposé.
Soit a et b deux éléments de A tels que: a<b.
On peut montrer par récurrence que: k{0,...,2n} .
Soit x. D'après l'hypothèse une, il existe 
et 
de A tels que: x];[. Ceci permet d'écrire: x=ta+(1-t)b où t]0;1[.
Soit alors où
Ce choix est convenable, non?
Il y a un petit problème avec l'initialisation. En n = 0, x(n) = x n'est pas forcement un élément de A.
Trouve moi un n tel que x_n appartienne effectivement à A et montre moi l'hérédité de ta proposition et ce sera une bonne proposition 
salut
je ne comprends pas trop toutes ces complications ..
A est dense dans R signifie que pour tout réel x il existe a dans A aussi proche de x que je veux
soit en mathématique :
soit donc un réel x et e > 0
d'après la propriété 1 de A il existe a et b dans A tels que a < x < b
il suffit alors d'appliquer la dichotomie en considérant c = (a + b)/2 (qui est un élément de A d'après la propriété 2 de A)
soit a < x < c soit c < x < b
tant que |c - a| > e ou |c - b| > e recommencer
PS : mettre des inégalités larges là où il faut !!