Bon dimanche,
Pour obtenir 100 il  y a  1594323 possibilités ..mais je ne suis pas sûr de mon raisonnement

 Cliquez pour afficher

je trouve une moyenne de 17 coups
et sur les 146 nombres rencontrés une moyenne de 55

Bonjour,

 Cliquez pour afficher

Estimation à la peu-près :

la distance moyenne d'un pas est : 1/3 * 4 + 2/3 * 7 = 6
La succession des cases étapes ressemblent donc à ceci :
1, 7 , 13, 19 ... 97 (et puis on dépasse 100)

La moyenne de la somme des cases rencontrées est :
17 * (1 + 97)/2 = 833

Ce ne pas la bonne valeur, mais devrait en être proche.

J'ai écrit un programme Python pour simuler un million d'épreuves et la moyenne qui en ressort est 838,7 (à rien près).

C'est sans doute la bonne moyenne ... mais je ne sais pas comment la calculer.

Rebonjour,

Complément à ma réponse précédente.

 Cliquez pour afficher

J'ai demandé à l'IA de générer un programme Python pour simuler l'exercice et faire la moyenne sur 1 million d'épreuves.

Ce programme donne la même moyenne que celle de mon programme ... (à rien près sur les décimales)
La réponse est donc bien 838,7 ... reste à trouver une démo sans programmation.

Bonjour,
Je trouve



soit à peu près 840,7.

Bonsoir,
une piste pour le calcul exact de la moyenne.

 Cliquez pour afficher

Je suppose que la dernière valeur avant de dépasser 100 est n=ax4+bx7+1 ( on a ajouté a fois 4 et b fois 7. )

Alors la probabilité d'un tel chemin est et il y en a .

On remarque que le cumul sur un chemin dépend du chemin mais il est facile de se convaincre que la valeur moyenne du cumul sur ces chemins s'obtient comme somme de la suite arithmétique de raison (n-1)/(a+b) qui est la valeur moyenne de ce qu'on ajoute à chaque étape.

La somme des cumuls sur tous ces chemins est donc

Il reste à écrire tous les types de chemin qui arrivent à cette valeur, à calculer la somme pour chaque type et à multiplier cette somme par la probabilité du type.
On a ainsi la contribution de cette sortie à l'espérance.

Enfin on fait ce calcul pour toutes les sorties possibles sont les nombres de 94 à 100, en remarquant que pour les nombres de 94, 95 et 96 il faut encore multiplier le résultat par 2/3.

J'ai un peu la flemme.

 Cliquez pour afficher

Pour un million de tirages j'ai trouvé 838,938 puis 838,825 et 838,696.
En ce qui concerne le dernier j'ai fait une liste de dix-mille valeurs moyennes sur cent tirages et je trouve un écart-type d'environ 6,6.
Ce qui laisse penser que l'écart-type sur la moyenne d'un million de tirages est d'environ 0,066.

Je met la fonction utilisée

def un_tirage():
    cumul=0
    position=1
    while position <101 :
        cumul+=position
        position+=choice((4,7,7))
    return cumul

Comme j'ai mis longtemps à taper ce message, je n'avais pas vu la réponse de GBZM.
J'aimerais connaître sa méthode de calcul et je le remercie d'avance s'il veut bien l'indiquer.

Ah, j'ai vu pourquoi je trouvais un résultat exact sensiblement différent de celui des simulations : je partais de 0 au lieu de partir de 1 (d'ailleurs, drôle d'idée de partir de 1 !).
La correction (facile) pour partir de 1 me fait trouver :

le résultat est 236911222976833/282429536481, soit à peu près 838.83

Ma méthode : calculer l'espérance du i-ème nombre (mis à 0 s'il dépasse 100), et sommer ces espérances.

from math import comb
from fractions import Fraction

def totecr(k,l) :
    tot = 1 + 4*k + 7*l
    if tot <= 100 : return tot
    else : return 0

def moyenne(i) :
    return sum( comb(i,k) * Fraction(1,3)**k * Fraction(2,3)**(i-k) * totecr(k,i-k) for k in range(i+1))

res = sum(moyenne(i) for i in range(25))

print("le résultat est {}, soit à peu près {:.2f}".format(res,float(res)))

Lumineux.

Ma réponse venait   d'une simulation (parmi d'autres)
En moyenne le voyage stoppe entre la 16 ème et la 18 ème étape :


55 était la moyenne des cumuls intermédiaires et n'avait aucun sens.

Tiens, dpi part aussi de 0 ...

Bonne remarque donc à l'étape 1 on a soit deux fois 8 soit une fois 5.

Bonjour à tous , merci pour votre participation , 838.8  est la bonne valeur

La bonne valeur ne serait-elle pas plutôt 236911222976833/282429536481 ?