Niveau Master Autre

Dérivée par rapport à la variable d'une fonction

Posté par
ferality 21-09-24 à 21:34

Bonsoir, j'étudie le calcul des variations et on a cette fonctionnelle :

$f(y) = \int_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+(y')^2}dx$

avec $y=y(x)$ et $y(x_1)=y_1$ ; $y(x_2)=y_2$

Ensuite on injecte dans l'équation d'Euler-Lagrange donc on dérive par rapport à $y'$ , je suis d'accord avec cette étape :

$\dfrac{\partial f}{\partial y'} = \dfrac{y'}{\sqrt{1+(y')^2}}$

Mais ensuite on a :

$\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{\partial f}{\partial y'}\right) = \dfrac{y''}{(\sqrt{1+(y')^2})^{3/2}}$

Et là je ne comprends pas cette dérivation, il ne faut pas appliquer la règle du produit (uv)' = u'v + uv' ?

Cependant comme on ne dérive pas en fonction de $y'$ mais en fonction de $x$ qui est la variable utilisée par $y'$ , ce n'est pas une dérivation "classique" donc... je dois rater quelque chose.

Posté par re : Dérivée par rapport à la variable d'une fonction 21-09-24 à 23:15

Bonsoir,

Dérive cela comme le produit de y' par 1/(1+y'²).

En réduisant au même dénominateur, le numérateur se simplifie et tu vas trouver le résultat annoncé.

Je ne reste pas plus longtemps

Posté par re : Dérivée par rapport à la variable d'une fonction 22-09-24 à 15:56

Bonjour,

Merci pour votre réponse, j'ai fini par comprendre, effectivement il faut dériver par rapport à y' en premier puis ensuite multiplier par y'' car on a cette formule qu'il faut appliquer :

$\dfrac{df}{dx} = \dfrac{df}{dy'}\dfrac{dy'}{dx} = \dfrac{df}{dy'}y''$

Posté par re : Dérivée par rapport à la variable d'une fonction 22-09-24 à 16:40

Oui mais, de façon plus élémentaire, on peut directement dériver par rapport à x:

$\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{\partial f}{\partial y'}\right) = \dfrac{y''}{\sqrt{1+(y')^2}}-\dfrac{y' (1/2) 2 y' y''}{(\sqrt{1+(y')^2})^{3/2}}= \dfrac{y''(1+y'^2)-y'^2 y''}{(\sqrt{1+(y')^2})^{3/2}}=\dfrac{y''}{(\sqrt{1+(y')^2})^{3/2}}$