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Dérivée polynomiale

Posté par
interpol 27-07-18 à 17:00

Bonjour,

Nous considérons un polynôme $P_n(x); x \in C$ ,n racines distinctes.

La dérivée $\frac{dP_n(x)}{dx}$ peut s'exprimer de manières diverses;
expliquer et montrer que si les racines x_i sont considérées comme des variables alors nous avons :

$P'_n(x)=-(\frac{dP}{dx_1}+\frac{dP}{dx_2}+...+\frac{dP}{dx_n})$

Nota;
Pour les calculs la variable x_i peut ensuite être remplacée par
sa valeur complexe.

Alain

Posté par re : Dérivée polynomiale 28-07-18 à 13:39

salut

$P(x) = \prod_1^n (x - x_i)$

$P'(x) = \sum_{i = 1}^n \prod_{j \ne i} (x - x_j)$

or $\dfrac {\partial P}{\partial x_i} = - \prod_{j \ne i} (x - x_j)$

...

Posté par re : Dérivée polynomiale 28-07-18 à 16:54

Bonjour,

Oui bien sûr;c'est une relation pas souvent citée!

En partant d'une expression exponentielle du polynôme:

$P_n(x)=(-1)^n exp(-x\delta) o (x_1x_2 ...x_n)$ , $\delta=\sum \frac{d}{dx_i}$
Dériver nous donne: $P'_n(x)=-\delta P_n(x)$

Alain

Posté par re : Dérivée polynomiale 31-07-18 à 11:46

Bonjour,

La relation se généralise:

$P^{(m)}_n(x)=(-1)^{(n+m)}\sum_{i=1}^n \frac{d^m P_n(x)}{dx_i^m}$

La démo de carpediem est 'nette'!

Amicalement,

Alain

Posté par re : Dérivée polynomiale 17-08-18 à 18:49

Bonjour Sylvieg,

Remarque que dans l'expression donnée exp(-x) peut être considéré
une commodité d'écriture;en effet le produit $(x_1x_2..x_n).$ est de
longueur finie (nombre de racines) l'exponentielle produira n+1 termes, c'est-à-dire
ledit polynôme de degré n

Je me permets d'insister un peu,

Alain.