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Dérivées successives nulles en un point.
Salut, voici un exercice assez simple d'analyse.
Soit f une fonction indéfiniment dérivable de R dans R telle que pour tout entier naturel n et tout réel x, |f(n)(x)| < n! .
Montrer que si il existe a dans R tel que pour tout n, f(n)(a) = 0, alors f est nulle.
Bonsoir,
Comme le dit Raymond, ça se fait facilement avec Taylor-Young avec reste intégral. On te laisse nous proposer quelque chose.
BS
Bonsoir
Oui il faut utiliser des développements de Taylor, mais pas directement, enfin je peux vous montrer, mais le problème c'est que je ne sais pas comment utiliser les symboles mathématiques proposés... Pouvez vous me dire comment faire??
On pose x réel, un entier p non nul tel que A = |x-a|/p < 1, et pour tout entier k dans [|0..p|] x(k) = a + k(x-a)/p.
Et à l'aide de développements de Taylor, on peut montrer par récurrence sur k que pour tout k dans [|0..p|], et tout n entier naturel on a f(n)(x(k))=0. En effet le résultat étant vrai pour k = 0, supposons le vrai pour k dans [|0..p-1|], on a par la formule de Taylor pour tout n et tout i entier naturel, |f(n)(x(k+1))| < (n + i + 1)!A^(i + 1) / (i + 1)! , et le membre de droite tend vers 0 car A < 1.
Et en particulier on obtient f(x) = 0. f et donc nul.
Pour être franc, je ne vois pas de lien logique entre tes phrases et affirmations. Donc, pour le moment, je ne me prononce pas. Je préfère attendre un second avis. Moi, j'ai une méthode simple et je crois rigoureuse. Donc, si personne d'autre n'intervient, je te la montrerai.
BS
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