Je pense avoir une solution mais ce n'est pas évident qu'elle est juste.

 Cliquez pour afficher

Il faut regarder les résidus modulo 4. Les deux seuls résidus de carrés modulo 4 sont 0 et 1.

Si on regarde a²b²-a²-b² modulo 4 on observe que si a ou b n'est pas pair alors le résidu est 3 ce qui ne peut pas être le résidu d'un carré. a et b sont donc pairs et on peut les remplacer par 2a' et 2b'. L'expression devient :

a²b²-a²-b² = 4(4a'²b'²-a'²-b'²)

Et donc il faut trouver un carré de la forme 4a²b²-a²-b². En regardant encore une fois les résidus modulo 4 on obtient 0, 2 ou 3. Seul le premier résidu peut être celui d'un carré et on l'obtient encore une fois quand a et b sont pair. L'expression devient :

4a²b²-a²-b² = 4(16a'²b'²-a'²-b'²)

Et il faut trouver un carré de la forme 16a²b²-a²-b². On peut montrer que les résidus modulo 4 de l'expression 4xa²b²-a²-b² est 0, 2 ou 3 pour tout x entier. Avec le résidu 0 quand a et b sont pairs. De plus en remplaçant on obtient :

4xa²b²-a²-b² = 4(4(4x)a'²b'²-a'²-b'²)

Ainsi par induction on montre que a et b sont multiples de toutes les puissance de 2. Donc a et b sont soit 0, soit infini. Or l'infini n'est pas un nombre naturel.

Les seuls entiers naturels a et b tels que a²b²-a²-b² soit un carré parfait sont donc (a,b) = (0,0).

Bonjour,
Merci  j'aime bien....
Je fais mon sport et je m'y colle....

Bonjour,
@LittleFox,

 Cliquez pour afficher

Ta conclusion est bonne
Ta démonstration est la même que celle que j'avais trouvée au départ.
Mais l'induction dans la seconde partie me chiffonnait. Son intérêt est de permettre de conjecturer la conclusion.
Ce qui m'a aidé à trouver autre chose pour cette seconde partie.

Suite,

Comme on n'en trouvera pas , je propose qu'on donne a et b tels que a²b²-a²-b²=p²+ou-.
Quel sera le plus petit

Pour exemple un gros
(10,58)
10²58²-10²-58²=332936 =577²+7

Fin pour moi

 Cliquez pour afficher

(0,0) n'est pas un joli couple...
Dans les éventuels approchés:
J'ai testé sur Excel jusqu'à (999,1000)  soit quand même 997 999 001 999
*on ne trouve déjà pas beaucoup de carrés d'entiers et pour les premiers ,je reste
sur mon exemple qui est le plus approchant ,ce qui n'est pas fameux.
*à noter que l'écart minimum est 7 et très rarement 4

@dpi Il y a (1,1) : 1²1²-1²-1² = 0²-1 qui me vient immédiatement avec l'écart minimal plus grand que 0

En fait puisque a²a²-a²-a² = a⁴-2a²+1-1 = (a-1)²-1 pour chaque couple (a,a) on a cet écart de juste 1.

J'avais exclus  a=b. avec 1 comme écart ...
Par contre comment expliques-tu que pour   ab les plus petits écarts sont 4  7  et  8   pas de 2,5,6,9,10 ??

Pour a ou b = 1 on a aussi cet écart de 1, ça commence à faire beaucoup de cas "particuliers"

Je ne sais pas pourquoi ces écarts sont manquants mais comme tu peux le voir ci-dessous, tu as oublié les écarts avec le carré au dessus.
a²b²-a²-b² = p²+ , a > b > 0.

       a       b       p 
-1      2       1       0  
-2      3       2       5  

 4      6       2       10 
-5      4       2       7  

 7      5       2       8  
-8      8       2       14 

-10     6       3       17 


-13     12      2       21 
 14     9       2       15 


-17     7       3       20 
-18     18      3       51 
 19     8       3       22 
-20     16      2       28 

Bonjour,
Effectivement, pas beaucoup de multiples de 3 pour ...
Un résultat partiel avec des résidus modulo 3 :

x² 0 [3] x multiple de 3
x² 1 [3] x non multiple de 3

a²b² - a² - b² 0 [3] a et b multiples de 3 .

a²b² - a² - b² -1 [3] a ou b non multiple de 3 .

a²b² - a² - b² - p² 0 [3] a, b et p multiples de 3 .

Si a, b et p sont multiples de 3 alors est multiple de 9 .
ne peut donc être égal à 3 ou à -3 .

Ni à 6 ou -6

Je n'avais pas la même  approche pour les écarts *:
Toujours est-il que  nous ne trouverons pas de carrés de premiers

*  n= a²b²-a²-b²
    valeur entière   n =v
   n-v²

@dpi J'ai l'impression que tu essayes de t'échapper chaque fois qu'on te serre un peu trop

@Sylvieg Est-ce que tu aurais fait une démonstration par contradiction du genre il n'existe pas de plus petite solution plus grande que 0?

 Cliquez pour afficher

Lemme 1 : Il n'existe pas de solution à l'équation 4xa²b²-a²-b² = p² avec 0<ab et a,b,p,x entiers.

Soit (A,B,X,P) solution de l'équation tel que A est le plus petit possible, on a 4XA²B²-A²-B²=P².

Si A et B sont impairs alors P² = -2 = 2 [4] ce qui est impossible les résidus modulo 4 étant 0 et 1.
Si A est impair et B pair alors P²= -1 = 3 [4] ce qui est impossible pour la même raison.
De la même façon A pair, B impair est impossible.
A et B sont donc pairs. P² = 0-0-0 = 0 [4], donc P est lui-même pair.

En remplaçant (A, B,P) par (2A', 2B',2P') on a :
64XA'²B'²-4A'²-4B'² = 4P'² 4(16XA'²B'²-A'²-B'²) = 4P'² 16XA'²B'²-A'²-B'² = P'² 4(4X)A'²B'²-A'²-B'² = P'²

Et donc (A',B',4X,P') est aussi solution de notre équation. Avec A' plus petit que A et plus grand que 0 puisque la moitié de A. A n'est donc pas le plus petit possible. Et par contradiction il n'existe pas de solution à l'équation 4xa²b²-a²-b² = p² avec 0<ab et a,b,p,x entiers.


Lemme 2: Toute solution à l'équation a²b²-a²-b² = p² peut être transformée en solution à l'équation  4a'²b'²-a'²-b'²= p'².

Si a et b sont impair alors p² = 1-1-1 = -1 = 3 [4] ce qui est impossible.
Si a est impair et b pair alors p² = 0-1-0 = -1 = 3[4] ce qui est impossible.
De la même façon, a pair et b impair est impossible.
Donc a et b sont pairs et p² = 0-0-0 =0 [4] est lui aussi pair.
En remplaçant (a,b,p) par (2a',2b',2p') on obtient :
16a'²b'²-4a'²-4b'² = 4p'² 4a'²b'²-a'²-b'² = p'².

Donc pour toute solution (a,b,p) de l'équation a²b²-a²-b²=p², (a',b',p') avec (a,b,p) = (2a',2b',2p') est  solution de l'équation 4a'²b'²-a'²b'² = p'².


Démonstration: La seule solution (a,b,p) de l'équation a²b²-a²-b²=p² est (0,0,0).

Par le lemme 2, toute solution à a²b²-a²-b² = p² peut être transformée en 4a'²b'²-a'²-b'² = p'² or cette équation par le lemme 1 n'a pas de solution avec 0<a'b'.
a²b²-a²-b²=p² n'a donc pas de solution avec 0<ab.
Comme (a,b) = (0,b), b>0 n'est pas solution non plus : 0²b²-0²-b² = -b² < 0 or un carré est positif, il n'existe pas de solution avec 0<b.
Par symétrie, il n'y pas de solution avec 0<a non plus.

Comme (a,b,p) = (0,0,0) est trivialement solution, c'est la seule solution.

Ma démonstration n'est finalement pas très différente

 Cliquez pour afficher

D = a²b² - a² - b²

Rappel du début que tu as donné le 24 à 2h29 :
« Si on regarde a²b²-a²-b² modulo 4 on observe que si a ou b n'est pas pair alors le résidu est 3 ce qui ne peut pas être le résidu d'un carré. a et b sont donc pairs »
Autrement dit : Si D est le carré d'un entier alors les entiers a et b sont pairs.

Deux cas : ab=0 ou ab0 .

1er cas : ab=0
Si a = 0 et D est le carré d'un entier alors D = -b² et D ne peut être que le carré de 0 ; donc b= 0 .
De même si b = 0 et D est le carré d'un entier alors a = 0 .
On ne trouve que la solution (0,0) .

2nd cas : ab0
Si ab 0 , on utilise les exposants de 2 dans la décomposition en facteurs premiers de a et b :
a = 2x et b = 2y avec x et y impairs.
Si D est le carré d'un entier alors a et b sont pairs. D'où 1 et 1 .
On peut supposer .
2²x²y² - 2^2(-)x² - y² serait alors le carré d'un entier.
Mais x² et y² sont congrus à 1 modulo 4, car x et y sont impairs.
D'où 2²x²y² - 2^2(-)x² - y² 0 - (0 ou 1) - 1 -1 ou 2 .
2²x²y² - 2^2(-)x² - y² n'est donc pas le carré d'un entier.
Il n'y a pas de solution avec ab 0 .

Bonjour,
@dpi,
Je n'ai pas compris ton dernier message