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Des chances de se croiser?...

Posté par
flight 01-04-26 à 22:49

Bonsoir ,
Je vous propose l'exercice suivant ;

Deux amis qui ne se sont pas vus depuis longtemps décident chacun de partir 7 jours en vacances au cours de la même année, que l'on suppose composée de 365 jours.

On suppose que :

chacun choisit indépendamment une période de 7 jours consécutifs. .
le jour de départ peut être n'importe lequel des 359 premiers jours de l'année, de façon équiprobable ;
ils vont tous les deux dans la même destination.

Quelle est la probabilité qu'ils se croisent au moins une journée pendant leurs vacances ?

Posté par re : Des chances de se croiser?... 02-04-26 à 08:54

Bonjour,
A première vue, je dirais

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Posté par re : Des chances de se croiser?... 02-04-26 à 10:41

Bonjour,
je généralise à n jours de départ possibles (dans la question posée $n=359$ ) et p jours consécutifs pour le premier des deux amis, q jours consécutifs pour le second (dans la question posée $p=q=7$ ).
La probabilité qu'ils se croisent au moins une journée est égale à :

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On l'obtient en calculant la probabilité de l'événement contraire qui vaut :

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Avec les valeurs $n=359$ et $p=q=7$ on obtient pour la probabilité demandée :

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Posté par re : Des chances de se croiser?... 02-04-26 à 10:45

Bonjour,
On élimine tout temps de transport à l'aller et au retour.

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Posté par re : Des chances de se croiser?... 02-04-26 à 11:25

Je m'aperçois (mieux vaut tard que jamais) que j'ai fait une erreur dans ma formule pour calculer la probabilité de l'événement contraire : j'ai utilisé la valeur du nombre de jours de départ quand il fallait utiliser le nombre de jours de l'année.
Avec une année de N jours et p jours consécutifs pour le premier des deux amis, q jours consécutifs pour le second, la probabilité de l'événement contraire vaut :

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