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Des chances de se croiser?...
Bonsoir ,
Je vous propose l'exercice suivant ;
Deux amis qui ne se sont pas vus depuis longtemps décident chacun de partir 7 jours en vacances au cours de la même année, que l'on suppose composée de 365 jours.
On suppose que :
chacun choisit indépendamment une période de 7 jours consécutifs. .
le jour de départ peut être n'importe lequel des 359 premiers jours de l'année, de façon équiprobable ;
ils vont tous les deux dans la même destination.
Quelle est la probabilité qu'ils se croisent au moins une journée pendant leurs vacances ?
Bonjour,
je généralise à n jours de départ possibles (dans la question posée ) et p jours consécutifs pour le premier des deux amis, q jours consécutifs pour le second (dans la question posée
).
La probabilité qu'ils se croisent au moins une journée est égale à :
Cliquez pour afficherOn l'obtient en calculant la probabilité de l'événement contraire qui vaut :
Cliquez pour afficherAvec les valeurs
Cliquez pour afficherJe m'aperçois (mieux vaut tard que jamais) que j'ai fait une erreur dans ma formule pour calculer la probabilité de l'événement contraire : j'ai utilisé la valeur du nombre de jours de départ quand il fallait utiliser le nombre de jours de l'année.
Avec une année de N jours et p jours consécutifs pour le premier des deux amis, q jours consécutifs pour le second, la probabilité de l'événement contraire vaut :
Cliquez pour afficherQuand
Cliquez pour afficherC'est proche de la valeur trouvée par sanantonio312
Bonsoir d'accord avec la réponse donnée par Jandri, les autres résultats donnés sont "un poil éloignés" la meilleur précision est 0,0359, ca peut même se vérifier avec un algorithme avec 1 million d'itérations si on veut être super précis
je donne mon raisonnement quand meme :
jour 1 -> 7 cas de chevauchements
jour 2 -> 8 cas de chevauchements
jour 3 -> 9 cas de chevauchements
....
jour 6 -> 12 cas de chevauchements
jour 7 -> 13 cas de chevauchements
jour 8 -> 13 cas de chevauchements
idem jusqu'a :
jour 353 -> 13 cas de chevauchements
puis :
jour 354 -> 12 cas de chevauchements
jour 355 -> 11 cas de chevauchements
jour 356 -> 10 cas de chevauchements
jour 357 -> 9 cas de chevauchements
jour 358 -> 8 cas de chevauchements
jour 359 -> 7 cas de chevauchements on s'arrete là car 365-7+1 = 359
il suffit de compter les cas favorables :2.(7+8+9+10+11+12) + 13.(353-7+1) = 114 + 347*13= 4625 cas favorables
et donc P = 4625/ 359²
Je reconnais que mon 1/26 est un poil trop haut 0.384
quant à verdurin il suffit deux décimales de plus pour trouver 0.0379 avec un joli raisonnement.
puis :
jour 354 -> 12 cas de chevauchements
jour 355 -> 11 cas de chevauchements
jour 356 -> 10 cas de chevauchements
jour 357 -> 9 cas de chevauchements
jour 358 -> 8 cas de chevauchements
jour 359 -> 7 cas de chevauchements on s'arrête là car 365-7+1 = 359
Pourquoi n'y a-t-i pas 13 cas de chevauchements dans ces cas là?
flight ne l'a pas précisé mais il a choisi de numéroter les jours comme le premier jour de la séquence de 7 jours du premier des deux amis.
Par exemple pour le jour 359, il y a chevauchement si le second des deux amis débute sa séquence aux jours 353, ... , 359 : 7 cas.
Bonsoir,
je suis d'accord avec la méthode de flight mais elle est plus difficile à généraliser que ma méthode.
De plus ma méthode se généralise encore plus puisqu'on peut l'appliquer à une année de N jours avec A amis, le k-ième ami prenant jours consécutifs de vacances dans l'année.
La probabilité qu'il n'y ait jamais deux amis en vacances le même jour a une expression simple :
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