[détente] e défie la factorielle... :*::*::*: - forum mathématiques

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[détente] e défie la factorielle... 
Posté par 
Ju007  29-12-07 à 21:31
Bonsoir! 

J'ai une énigme que j'ai trouvée sur un site et que j'arrive pas à résoudre. Alors je me suis dit, autant réfléchir tous ensemble car là, j'avoue que je bloque... 

L'énoncé :

Citation :
Montrez que l'entier le plus proche de  est divisible par n-1.

Voilà je vous souhaite bonne chance!
 Posté par 
simon92re : [détente] e défie la factorielle...   29-12-07 à 21:55
bonjour Ju,

as tu remplacé e par 
 Posté par 
infophilere : [détente] e défie la factorielle...   29-12-07 à 21:56
Bonsoir 

simon > Il faut que n tende vers l'infini.
 Posté par 
infophilere : [détente] e défie la factorielle...   29-12-07 à 22:02
Peut-être en bidouillant un truc avec stirling...

J'ai mon DM à finir avant de chercher, m'enfin si Ju n'a pas trouvé c'est peine perdue 
 Posté par 
simon92re : [détente] e défie la factorielle...   29-12-07 à 22:04
oui, mis si n est suffisament grand, comme on fait un arrondi, on peut considérer que c'est e
 Posté par 
Ju007re : [détente] e défie la factorielle...   29-12-07 à 22:32
En fait, vous n'avez pas tout à fait compris la question.

Il faut prouver la propriété quelque soit n. Stirling utilise la voisinnage en +infini.

Enfin je vois pas comment on peut montrer qu'un arrondi est divisible par un entier. Ca me semble totalement irréalisable. 

Peut-être simon a raison... en utilisant ! 

En tout cas merci de s'intéresser à ce problème... 
 Posté par 
gui_toure : [détente] e défie la factorielle...   29-12-07 à 22:33
Bonsoir 

Ju, cette formule n'est valable que quand n tend vers +oo, non ?
 Posté par 
infophilere : [détente] e défie la factorielle...   29-12-07 à 22:34
Oui pour stirling c'est au voisinage de l'infini, mais je l'ai déjà vu utilisé dans un problème d'arithmétique donc on sait jamais 
 Posté par 
Ju007re : [détente] e défie la factorielle...   29-12-07 à 22:35
Ah je crois avoir trouvé! 
 Posté par 
simon92re : [détente] e défie la factorielle...   29-12-07 à 22:35
oui, mais comme je l'ai dit on résonne avec un arrondi donc, j'en sais trop rien moi, vu que la formule de Stirling (je connaissait pas le nom  ) converge très vite, peut-être que l'arrondi ce sert de la différence entre e et la somme, mais bon...

je vois pas trop comment faire avec cet arrondi, un récurrence doit pas marcher...
 Posté par 
gui_toure : [détente] e défie la factorielle...   29-12-07 à 22:36
Youpi 

on attend 
 Posté par 
Ju007re : [détente] e défie la factorielle...   29-12-07 à 22:36
ouioui pardon  c'est en plus infini...
 Posté par 
simon92re : [détente] e défie la factorielle...   29-12-07 à 22:36
vas y dit nous tout!
 Posté par 
simon92re : [détente] e défie la factorielle...   29-12-07 à 22:37
ca signifie quoi le:

"Peut-être simon a raison... "

et surtout le  c'est un sous-entendu, n'est ce pas? 

ok je dégage 
 Posté par 
Ju007re : [détente] e défie la factorielle...   29-12-07 à 22:38
En fait on utilise pas

 mais    

...

Ca devrait marcher! 
 Posté par 
Ju007re : [détente] e défie la factorielle...   29-12-07 à 22:40
Oui je vous laisse faire, j'ai la solution, et je vous ai donné un indice au post précédent... 

Comme quoi, le fait de le poster...
 Posté par 
Ju007re : [détente] e défie la factorielle...   29-12-07 à 22:43
Ou vous voulez la solution? 

simon : non le  c'était signe que je réfléchissais!
 Posté par 
gui_toure : [détente] e défie la factorielle...   29-12-07 à 22:43
Perso, je veux la soluce 

En blanké peut etre 
 Posté par 
simon92re : [détente] e défie la factorielle...   29-12-07 à 22:52
Citation :
Comme quoi, le fait de le poster...

c'est surtout le fait que je t'aide 

je rigole
 Posté par 
Ju007re : [détente] e défie la factorielle...   29-12-07 à 23:05
Alors la voilà... 

 Cliquez pour afficher
J'ai longtemps fougéré car j'utilisais la formule 

 mais en passant à l'inverse ça ne marchait pas.

En fait comme j'ai dit, on utilise 

En effet on a 

On peut alors prouver que pour n assez grand que 

En effet par une majoration grossière, (pour n>4 je crois)

Ainsi, pour n>4 

 est l'entier le plus proche de n!/e. 

or pour k < n - 1,  est divisible par n-1.

et pour k=n-1 et k = n on obtient  qui est bien divisible par (n-1).

Au final, on a bien qui est divisible par (n-1). cqfd.
 Posté par 
Ju007re : [détente] e défie la factorielle...   29-12-07 à 23:05
 simon
 Posté par 
gui_toure : [détente] e défie la factorielle...   29-12-07 à 23:07
Ju 

 Cliquez pour afficher
J'en étais à  mais je voyais pas comment conclure  

 Bonne réponse  
 Posté par 
simon92re : [détente] e défie la factorielle...   29-12-07 à 23:10
c'est pas ce que je t'ai suggéré??? 

 Posté par 
Ju007re : [détente] e défie la factorielle...   29-12-07 à 23:12
Gui

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oui moi aussi j'avais bugué sur le  car j'interprétais les termes à part.

Et sinon merci pour l'énigme!  
 Posté par 
lo5707re : [détente] e défie la factorielle...   30-12-07 à 02:04
Bonjour.

L'entier le plus proche de  est 0, mais je ne savais pas que 0 était divisible par 0... 
 Posté par 
Ju007re : [détente] e défie la factorielle...   30-12-07 à 12:11
Bonjour,

ben si... on a bien 0 = 0 x 0, donc 0 divise bien 0.
  Posté par 
simon92re : [détente] e défie la factorielle...   30-12-07 à 12:39
moi on m'a dit que tout les réel divisaient 0, sauf 0