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oui, c'est possible, entre autre, si, (T) et (T') sont parallèles, alors a=b=c, suite géométrique de raison 1, ou suite arithmétique de raison 0

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Eh oui, tu es tombé dans le piège : j'ai dit des droites sécantes...

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Les points de tangence des cercles C_A, C_B et C_C sont respectivement I_A I_B et I_C.
On trace la parallèle à D passant par I_C. Elle coupe la droite (BI_B) en M et la droite (AI_A) en N
En appliquant Thalès dans le triangle CNI_A, on obtient :























Donc, les rayons a, b, c des trois cercles sont en progression géométrique.

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je pense qu'avec thalès, on peut arriver a un suite geométrique, mais ca m'étonnerais, que ca marche avec un suite arithmétique, mais bon comme j'ai vraiment beaucoup la flemme

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2nd épisode (je viens de m'apercevoir que j'avais répondu à la moitié de l'exercice seulement )
Dans mon précédent post, j'ai démontré (sauf erreur de raisonnement) que a, b et c étaient en progression géométrique. Supposons qu'ils sont également en progression arithmétique. Dans ce cas :
b = c + r
a = b + r = c + 2r

Et par conséquent on a :

     

soit    c(c + 2r) = (c + r)²
c² + 2rc = c² + 2rc + r²
r² = 0
r = 0        c'est-à-dire a = b = c        T // D, ce qui est impossible d'après l'énoncé.

Donc, les rayons a, b et c ne peuvent pas être en progression arithmétique.

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Toujours rien pour la subsidiaire... _{(par contre, mes démonstrations sont correctes ou pas?)}

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Ce ne serait pas Benoît Mandelbrot ?
J'avais bien trouvé une vague ressemblance, mais pas de preuve formelle qu'il s'agissait de la même personne...

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Soit I le point d'intersection de T et T'.

Des considérations avec Thalès et/ou l'homothétie de centre I qui transforme (C_c) en (C_b) montrent qu'on a nécessairement b/c = a/b (donc que ac=b²). Donc a, b, c sont en progression géométrique. Et donc non tantum il est possible que a,b, c soient en progression géométrique, sed equiam c'est obligatoire.

Pour la proposition 1 on doit avoir a+c=2b (puisqu'on examine a, b, c en progression arithmétique), et nécessairement ac=b² (d'après le paragraphe précédent). Donc a et c doivent être solutions de l'équation x²-2bx+b²=0, autrement dit (x-b)²=0, qui conduit à x=b. Donc a=c, et par conséquent a=b=c, ce qui entraîne que T et T' ne sont pas sécantes.

Donc (1) est ipmossible, et (2) toujours vrai

sauf erreur(s), of course.

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on peut tenter une explicaton logique et sans calcul à la progression géométrique
quand on inscrit un cercle tangent aux côtés d'un angle donné, puis, en s'éloignant du sommet, un autre cercle tangent au premier et au côté de l'autre, on obtient à chaque fois des figures semblables
en construisant deux telles figures, l'une avec les cercles C et B, l'autre avec les cercles B et A, on a donc B/C = A/B : progression géométrique

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oui pour la suite géométrique non pour la suite arithmétique
pour le personnage je propose Poncelet