[détente]_JFF_Gymnastique algébrique_18

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[détente]_JFF_Gymnastique algébrique_18
Posté par 
mikayaou  01-07-08 à 11:59
Bonjour,

Une tite JFF pour cette île qui vivote doucement...

Citation :

Sans calculer le premier membre, bien sûr, prouvez que :

Par ailleurs, je me demandais -toujours sans tableur ni programmation- comment déterminer N du dernier dénominateur pour ce produit soit inférieur au centième

Encore une fois, je précise :

¤ que j'espère qu'il n'y a pas d'erreur d'énoncé ( j'en ai déjà vues dans cette source )

¤ que je ne connais pas le niveau des outils nécessaires à sa résolution

¤ que je n'ai pas la soluce : je ne pourrai donc pas vous donner des axes de recherche ou confirmer -assurément- votre proposition

Au moins, pour le début, répondez en blanqué : les autres participants vous en remercient ...

Nota : 

N'hésitez pas à mettre, en blanqué, le détail de votre démonstration : ça me permettra d'y faire référence en mettant le lien pour présenter les différentes solutions proposées ( et ça me simplifiera l'a correction  )

Merci aux habituels des non blanqués ( dont je fais partie  ) d'utiliser le bouton Aperçu
.        
avant tout envoi : ça évitera les recours aux modos pour blanquer ce qui a été omis de l'être...

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lafol re : [détente]_JFF_Gymnastique algébrique_18  01-07-08 à 12:30
Bonjour

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Je ne sais pas si c'est utile, mais à gauche, ça peut s'écrire  ou  encore 
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mikayaoure : [détente]_JFF_Gymnastique algébrique_18  01-07-08 à 12:32
ah oui, ... est-ce exploitable ?

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lafol re : [détente]_JFF_Gymnastique algébrique_18  01-07-08 à 12:33
je n'en sais rien, mais je réfléchirai mieux le ventre plein 
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mikayaoure : [détente]_JFF_Gymnastique algébrique_18  01-07-08 à 12:38
bonap' 

 Posté par 
rogerdGymnastique algébrique_18  01-07-08 à 13:33
Bonjour (ou rebonjour?)

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Je note n le premier membre. Je lui associe

m=(2/3).(4/5)...(100/101).

En comparant les termes deux à deux, on voit que n<m.

Donc n^2<nm = 1/101<1/100 .

Donc n<1/10.

Sauf erreur...

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mikayaoure : [détente]_JFF_Gymnastique algébrique_18  01-07-08 à 13:44
très jolie démo, rogerd 

 Posté par 
mikayaoure : [détente]_JFF_Gymnastique algébrique_18  01-07-08 à 13:56
>rogerd 

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avec ta méthode, j'ai :

N = 1/2 . 3/4 . 5/6 ... (2n-1)/(2n)

M = 2/3 . 4/5 . 6/7 ... (2n)/(2n+1)

N < M , N² < NM = 1/(2n+1)

pour n > 4999, N < 1/100

c'est quand même très approximatif car, en réalité, c'est n > 3215 :

N = 1/2 . 3/4 . 5/6 ... 6427/6428 . 6429/6430 < 1/100

 Posté par 
rogerdGymnastique algébrique_18  01-07-08 à 14:11

mikayaou

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Ta question subsidiaire, sans calculer le premier membre, me paraît très dure...
 Posté par 
mikayaoure : [détente]_JFF_Gymnastique algébrique_18  02-07-08 à 00:10
hormis rogerd, personne d'intéressé ?

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veledare : [détente]_JFF_Gymnastique algébrique_18  02-07-08 à 06:50
bonjour mykayaou

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 si si je me suis intéressée  à cette inégalité hier

le membre de gauche A100est égal à 2/I100 où I100=0/2sin100tdt

on trouvait souvent cette question dans les sujets des écoles de commerce il y a quelques dizaines d'années

I101=(2.4.......100)/(3.5......101) 

A100.I101=1/101

A100/I101<1

on en déduit l'inégalité demandée

je vais essayer de ne pas me tromper en postant (j'ai perdu mes lunettes )
 Posté par 
mikayaoure : [détente]_JFF_Gymnastique algébrique_18  02-07-08 à 07:25
merci veleda : bonne recherche...

 Posté par 
veledare : [détente]_JFF_Gymnastique algébrique_18  02-07-08 à 08:05
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si tu veux dire bonne recherche pour mes lunettes je crains fort qu'elles ne soient parties à la déchèterie  avec un grand sac de roses fanées
 Posté par 
mikayaoure : [détente]_JFF_Gymnastique algébrique_18  02-07-08 à 08:06
aïe !

 Posté par 
jandri re : [détente]_JFF_Gymnastique algébrique_18  02-07-08 à 22:32
Bonjour à tous.

C'est rogerd qui a donné la démonstration la plus élémentaire (et la plus rapide) mais c'est veleda qui donne la méthode qui permet de calculer le plus petit n qui convient (au passage, mikayaou n'a pas donné le plus petit n pour lequel le produit est inférieur à 0,01).

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Je note  l'intégrale de Wallis,  et . On montre d'une part que la suite  est décroissante, d'autre part (avec une intégration par parties donc niveau TS) que ; on en déduit que  et que . De  on déduit  d'où avec  et : . Cela entraine que la limite de  est égale à .

On peut être plus précis en étudiant la suite  qui a pour limite : ; on en déduit que la suite  est croissante et donc  d'où . On ne peut pas remplacer  par une constante plus grande. Cela entraine que , que , que  et que .

 Posté par 
veledare : [détente]_JFF_Gymnastique algébrique_18  02-07-08 à 23:18
bonsoirJandry

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mykayaou donne 3215 ce n'est pas trés loin de ce que tu trouves

je n'ai pas eu le temps de faire le calcul mais je te fais confiance
  Posté par 
mikayaoure : [détente]_JFF_Gymnastique algébrique_18  03-07-08 à 07:55
salut veleda et Jandri 

aux erreurs de calcul d'Open_Office_Calc près, c'est ce que je trouve ...